Soal yang Akan Dibahas
Diketahui fungsi $ f(x) = x^3 + bx^2 + cx + d $ pada interval $[-4,2]$
memotong sumbu X di $ -2 $ dan memotong sumbu Y di 26. Jika diketahui
$ f^{\prime \prime }(-3) = 0 $, maka nilai minimum $ f(x) $
adalah ....
A). $ -3 \, $ B). $ -2 \, $ C). $ -1 \, $ D). $ 2 \, $ E). $ 3 $
A). $ -3 \, $ B). $ -2 \, $ C). $ -1 \, $ D). $ 2 \, $ E). $ 3 $
$\spadesuit $ Konsep Dasar Nilai Minimum/maksimum
*). Nilai minimum suatu fungsi $ f(x) $ diperoleh pada saat $ f^\prime (x) = 0 $ dan untuk $ x $ pada interval batas yang diinginkan.
*). Nilai minimum suatu fungsi $ f(x) $ diperoleh pada saat $ f^\prime (x) = 0 $ dan untuk $ x $ pada interval batas yang diinginkan.
$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyusun fungsinya :
Diketahui $ f(x) = x^3 + bx^2 + cx + d $ pada interval $[-4,2]$.
-). Titik potong sumbu X di $ -2 $, artinya titiknya $(-2,0)$, substitusi ke fungsinya :
$\begin{align} f(-2) & = 0 \\ (-2)^3 + b.(-2)^2 + c.(-2) + d & = 0 \\ -8 + 4b -2c + d & = 0 \\ 4b -2c + d & = 8 \, \, \, \, \, \, \, \text{...pers(i)} \end{align} $
-). Titik potong sumbu Y di 26, artinya titiknya (0,26), substitusi ke fungsinya :
$\begin{align} f(0) & = 26 \\ 0^3 + b.0^2 + c.0 + d & = 26 \\ d & = 26 \end{align} $
-). Menentukan turunan kedua dan $ f^{\prime \prime } (-3) = 0 $ :
$\begin{align} f(x) & = x^3 + bx^2 + cx + d \\ f^\prime (x) & = 3x^2 + 2bx + c \\ f^{\prime \prime }(x) & = 6x + 2b \\ f^{\prime \prime }(-3) & = 0 \\ 6.(-3) + 2b & = 0 \\ 2b & = 18 \\ b & = 9 \end{align} $
-). Dari pers(i) serta nilai $ b = 9 $ dan $ d= 26 $ :
$\begin{align} 4b -2c + d & = 8 \\ 4.9 -2c + 26 & = 8 \\ 36 -2c + 26 & = 8 \\ -2c & = -54 \\ c & = 27 \end{align} $
Sehingga fungsi $ f(x) $ adalah :
$\begin{align} f(x) & = x^3 + bx^2 + cx + d \\ f(x) & = x^3 + 9x^2 + 27x + 26 \\ f^\prime (x) & = 3x^2 + 18x + 27 \end{align} $
*). Syarat nilai maksimum/minimum :
$\begin{align} f^\prime (x) & = 0 \\ 3x^2 + 18x + 27 & = 0 \, \, \, \, \, \, \text{(bagi 3)} \\ x^2 + 6x + 9 & = 0 \\ (x+3)^2 & = 0 \\ x & = -3 \end{align} $
*). Substitusi $ x = -3 $ dan batas interval $[-4,2]$ yaitu $ x = -4 $ dan $ x = 2 $ ke fungsi $ f(x) = x^3 + 9x^2 + 27x + 26 $ :
$\begin{align} x = -4 \rightarrow f(x) & = (-4)^3 + 9.(-4)^2 + 27.(-4) + 26 = -2 \\ x = -3 \rightarrow f(x) & = (-3)^3 + 9.(-3)^2 + 27.(-3) + 26 = -1 \\ x = 2 \rightarrow f(x) & = (2)^3 + 9.(2)^2 + 27.(2) + 26 = 124 \end{align} $
Artinya fungsi $ f(x) $ mempunyai nilai minimum $ - 2 $ pada interval $ [-4,2] $.
Jadi, nilai minimum $ f(x) $ pada interval $ [-4,2] $ adalah $ -2 . \, \heartsuit $
*). Menyusun fungsinya :
Diketahui $ f(x) = x^3 + bx^2 + cx + d $ pada interval $[-4,2]$.
-). Titik potong sumbu X di $ -2 $, artinya titiknya $(-2,0)$, substitusi ke fungsinya :
$\begin{align} f(-2) & = 0 \\ (-2)^3 + b.(-2)^2 + c.(-2) + d & = 0 \\ -8 + 4b -2c + d & = 0 \\ 4b -2c + d & = 8 \, \, \, \, \, \, \, \text{...pers(i)} \end{align} $
-). Titik potong sumbu Y di 26, artinya titiknya (0,26), substitusi ke fungsinya :
$\begin{align} f(0) & = 26 \\ 0^3 + b.0^2 + c.0 + d & = 26 \\ d & = 26 \end{align} $
-). Menentukan turunan kedua dan $ f^{\prime \prime } (-3) = 0 $ :
$\begin{align} f(x) & = x^3 + bx^2 + cx + d \\ f^\prime (x) & = 3x^2 + 2bx + c \\ f^{\prime \prime }(x) & = 6x + 2b \\ f^{\prime \prime }(-3) & = 0 \\ 6.(-3) + 2b & = 0 \\ 2b & = 18 \\ b & = 9 \end{align} $
-). Dari pers(i) serta nilai $ b = 9 $ dan $ d= 26 $ :
$\begin{align} 4b -2c + d & = 8 \\ 4.9 -2c + 26 & = 8 \\ 36 -2c + 26 & = 8 \\ -2c & = -54 \\ c & = 27 \end{align} $
Sehingga fungsi $ f(x) $ adalah :
$\begin{align} f(x) & = x^3 + bx^2 + cx + d \\ f(x) & = x^3 + 9x^2 + 27x + 26 \\ f^\prime (x) & = 3x^2 + 18x + 27 \end{align} $
*). Syarat nilai maksimum/minimum :
$\begin{align} f^\prime (x) & = 0 \\ 3x^2 + 18x + 27 & = 0 \, \, \, \, \, \, \text{(bagi 3)} \\ x^2 + 6x + 9 & = 0 \\ (x+3)^2 & = 0 \\ x & = -3 \end{align} $
*). Substitusi $ x = -3 $ dan batas interval $[-4,2]$ yaitu $ x = -4 $ dan $ x = 2 $ ke fungsi $ f(x) = x^3 + 9x^2 + 27x + 26 $ :
$\begin{align} x = -4 \rightarrow f(x) & = (-4)^3 + 9.(-4)^2 + 27.(-4) + 26 = -2 \\ x = -3 \rightarrow f(x) & = (-3)^3 + 9.(-3)^2 + 27.(-3) + 26 = -1 \\ x = 2 \rightarrow f(x) & = (2)^3 + 9.(2)^2 + 27.(2) + 26 = 124 \end{align} $
Artinya fungsi $ f(x) $ mempunyai nilai minimum $ - 2 $ pada interval $ [-4,2] $.
Jadi, nilai minimum $ f(x) $ pada interval $ [-4,2] $ adalah $ -2 . \, \heartsuit $
Tidak ada komentar:
Posting Komentar
Catatan: Hanya anggota dari blog ini yang dapat mengirim komentar.