Soal yang Akan Dibahas
Segitiga ABD siku-siku di B. Titik C pada BD sehingga $ CD = 3 $ dan $ BC = 2 $. Jika $ AB = 1 $
dan $ \angle CAD = \beta $ , maka $ \sin ^2 \beta = .... $
A). $\frac{25}{26} \, $ B). $\frac{4}{5} \, $ C). $\frac{31}{175} \, $ D). $ \frac{9}{130} \, $ E). $ \frac{5}{201} $
A). $\frac{25}{26} \, $ B). $\frac{4}{5} \, $ C). $\frac{31}{175} \, $ D). $ \frac{9}{130} \, $ E). $ \frac{5}{201} $
$\spadesuit $ Konsep Dasar Aturan Cosinus
Pada segitiga ABC di atas, berlaku aturan cosinus :
$ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A \rightarrow \cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2 }{2bc} $
$ b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos A \rightarrow \cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2 }{2ac} $
$ c^2 = b^2 + a^2 - 2ba \cos A \rightarrow \cos C = \frac{b^2 + a^2 - c^2 }{2ba} $
*). Identitas Trigonometri :
$ \sin ^2 x + \cos ^2 x = 1 \rightarrow \sin ^2 x = 1 - \cos ^2 x $
$ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A \rightarrow \cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2 }{2bc} $
$ b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos A \rightarrow \cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2 }{2ac} $
$ c^2 = b^2 + a^2 - 2ba \cos A \rightarrow \cos C = \frac{b^2 + a^2 - c^2 }{2ba} $
*). Identitas Trigonometri :
$ \sin ^2 x + \cos ^2 x = 1 \rightarrow \sin ^2 x = 1 - \cos ^2 x $
$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ilustrasi gambar.
Panjang AC pada segitiga ABC :
$ AC =\sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5} $
Panjang AD pada segitiga ABD :
$ AD =\sqrt{AB^2 + BD^2} = \sqrt{1^2 + 5^2} = \sqrt{26} $
*). Aturan Cosinus pada segitiga ACD :
$\begin{align} \cos CAD & = \frac{AC^2 + AD^2 - CD^2}{2.AC.AD} \\ \cos \beta & = \frac{(\sqrt{5})^2 + (\sqrt{26})^2 - 3^2}{2.\sqrt{5}.\sqrt{26}} \\ & = \frac{5 + 26 - 9 }{2\sqrt{130}} \\ & = \frac{22}{2\sqrt{130}} = \frac{11}{\sqrt{130}} \end{align} $
*). Menentukan nilai $ \sin ^2 \beta $ dengan identitas:
$\begin{align} \sin ^2 \beta & = 1 - \cos ^2 \beta \\ & = 1 - (\frac{11}{\sqrt{130}} )^2 \\ & = 1 - \frac{121}{130} \\ & = \frac{9}{130} \end{align} $
Jadi, nilai $ \sin ^2 \beta = \frac{9}{130} . \, \heartsuit $
*). Ilustrasi gambar.
Panjang AC pada segitiga ABC :
$ AC =\sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5} $
Panjang AD pada segitiga ABD :
$ AD =\sqrt{AB^2 + BD^2} = \sqrt{1^2 + 5^2} = \sqrt{26} $
*). Aturan Cosinus pada segitiga ACD :
$\begin{align} \cos CAD & = \frac{AC^2 + AD^2 - CD^2}{2.AC.AD} \\ \cos \beta & = \frac{(\sqrt{5})^2 + (\sqrt{26})^2 - 3^2}{2.\sqrt{5}.\sqrt{26}} \\ & = \frac{5 + 26 - 9 }{2\sqrt{130}} \\ & = \frac{22}{2\sqrt{130}} = \frac{11}{\sqrt{130}} \end{align} $
*). Menentukan nilai $ \sin ^2 \beta $ dengan identitas:
$\begin{align} \sin ^2 \beta & = 1 - \cos ^2 \beta \\ & = 1 - (\frac{11}{\sqrt{130}} )^2 \\ & = 1 - \frac{121}{130} \\ & = \frac{9}{130} \end{align} $
Jadi, nilai $ \sin ^2 \beta = \frac{9}{130} . \, \heartsuit $
Tidak ada komentar:
Posting Komentar
Catatan: Hanya anggota dari blog ini yang dapat mengirim komentar.