Soal yang Akan Dibahas
Akan dikonstruksi beberapa barisan geometri. Setiap barisan memenuhi syarat bahwa
hasil kali tiga suku berurutannya adalah 27 dan jumlahnya adalah $ 10\frac{1}{2}$.
Jumlah semua rasio barisan yang memenuhi syarat tersebut adalah ....
$\spadesuit $ Konsep Dasar Barisan Geometri
*). Rumus suku ke-$n$ : $ U_n = ar^{n-1} $
*). Sifat-sifat eksponen :
i). $ a^m.a^n = a^{m+n} $
ii). $ a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n} $
iii). $ (a^m)^n = a^{m.n} $
*). Rumus suku ke-$n$ : $ U_n = ar^{n-1} $
*). Sifat-sifat eksponen :
i). $ a^m.a^n = a^{m+n} $
ii). $ a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n} $
iii). $ (a^m)^n = a^{m.n} $
$\clubsuit $ Pembahasan
*). Tiga suku berurutan yang dimaksud masih umum, sehingga kita misalkan saja :
suku pertama : $ U_n = ar^{n-1} $
suku kedua : $ U_{n + 1} = ar^{n} $
suku ketiga : $ U_{n + 2} = ar^{n+1} $
*). Persamaan pertama :
$\begin{align} \text{perkalian } & = 27 \\ U_n \times U_{n+1} \times U_{n+2} & = 27 \\ ar^{n-1} \times ar^n \times ar^{n+1} & = 27 \\ a^3r^{n-1 + n + n+1} & = 27 \\ a^3r^{3n} & = 27 \\ (ar^{n})^3 & = 3^3 \\ ar^n & = 3 \, \, \, \, \, \, \text{....pers(i)} \end{align} $
*). Persamaan kedua dan gunakan $ ar^n = 3 $
$\begin{align} \text{penjumlahan } & = 10\frac{1}{2} \\ U_n + U_{n+1} + U_{n+2} & = \frac{21}{2} \\ ar^{n-1} + ar^n + ar^{n+1} & = \frac{21}{2} \\ \frac{ar^n}{r} + ar^n + ar^n. r & = \frac{21}{2} \\ \frac{3}{r} + 3 + 3 r & = \frac{21}{2} \, \, \, \, \, \, \, \text{(kali } \frac{2r}{3} ) \\ 2+ 2r + 2r^2 & = 7r \\ 2r^2 - 5r + 2 & = 0 \\ a = 2, b = -5, c & = 2 \end{align} $
*). Menentukan jumlah rasio dengan jumlah akar-akar:
$\begin{align} r_1 + r_2 & = \frac{-b}{a} = \frac{-(-5)}{2} = \frac{5}{2} \end{align} $
Jadi, jumlah semua nilai rasio adalah $ \frac{5}{2} . \, \heartsuit $
Catatan :
*). Jika teman-teman merasa kesulitan untuk menghitung dari 3 suku berurutan $ U_n, U_{n+1}, U_{n+1} $, maka sebenarnya bisa kita ganti langsung dengan tiga suku berurutan yang pasti, misalkan $ U_1, U_2, U_3 $ atau $ U_2, U_3, U_4 $, atau $ U_5, U_6, U_7 $ , dan lainnya. Mungkin dengan menggunakan suku yang pasti akan memudahkan dalam menghitungnya.
*). Tiga suku berurutan yang dimaksud masih umum, sehingga kita misalkan saja :
suku pertama : $ U_n = ar^{n-1} $
suku kedua : $ U_{n + 1} = ar^{n} $
suku ketiga : $ U_{n + 2} = ar^{n+1} $
*). Persamaan pertama :
$\begin{align} \text{perkalian } & = 27 \\ U_n \times U_{n+1} \times U_{n+2} & = 27 \\ ar^{n-1} \times ar^n \times ar^{n+1} & = 27 \\ a^3r^{n-1 + n + n+1} & = 27 \\ a^3r^{3n} & = 27 \\ (ar^{n})^3 & = 3^3 \\ ar^n & = 3 \, \, \, \, \, \, \text{....pers(i)} \end{align} $
*). Persamaan kedua dan gunakan $ ar^n = 3 $
$\begin{align} \text{penjumlahan } & = 10\frac{1}{2} \\ U_n + U_{n+1} + U_{n+2} & = \frac{21}{2} \\ ar^{n-1} + ar^n + ar^{n+1} & = \frac{21}{2} \\ \frac{ar^n}{r} + ar^n + ar^n. r & = \frac{21}{2} \\ \frac{3}{r} + 3 + 3 r & = \frac{21}{2} \, \, \, \, \, \, \, \text{(kali } \frac{2r}{3} ) \\ 2+ 2r + 2r^2 & = 7r \\ 2r^2 - 5r + 2 & = 0 \\ a = 2, b = -5, c & = 2 \end{align} $
*). Menentukan jumlah rasio dengan jumlah akar-akar:
$\begin{align} r_1 + r_2 & = \frac{-b}{a} = \frac{-(-5)}{2} = \frac{5}{2} \end{align} $
Jadi, jumlah semua nilai rasio adalah $ \frac{5}{2} . \, \heartsuit $
Catatan :
*). Jika teman-teman merasa kesulitan untuk menghitung dari 3 suku berurutan $ U_n, U_{n+1}, U_{n+1} $, maka sebenarnya bisa kita ganti langsung dengan tiga suku berurutan yang pasti, misalkan $ U_1, U_2, U_3 $ atau $ U_2, U_3, U_4 $, atau $ U_5, U_6, U_7 $ , dan lainnya. Mungkin dengan menggunakan suku yang pasti akan memudahkan dalam menghitungnya.
Tidak ada komentar:
Posting Komentar
Catatan: Hanya anggota dari blog ini yang dapat mengirim komentar.