Soal yang Akan Dibahas
Diketahui $ p $ dan $ q $ akar-akar persamaan $ x^2 + 3x + k = 0 $ dengan $ p < q $.
Jika $ \frac{q+1}{p+1} - \frac{p-1}{q-1} = -\frac{3}{2} $ , maka jumlah semua nilai
$ k $ yang mungkin adalah ....
A). $ -4 \, $ B). $ -2 \, $ C). $ 1 \, $ D). $ 2 \, $ E). $ 4 \, $
A). $ -4 \, $ B). $ -2 \, $ C). $ 1 \, $ D). $ 2 \, $ E). $ 4 \, $
$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Persamaan kuadrat (PK) $ ax^2 + bx + c = 0 $ memiliki akar-akar $ x_1 $ dan $ x_2 $.
*). Operasi akar-akar :
$ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} \, $ dan $ x_1.x_2 = \frac{c}{a} $
$ x_1 - x_2 = \frac{\sqrt{D}}{a} \, $ untuk $ x_1 > x_2 $
dengan $ D = b^2 - 4ac $.
*). Pemfaktoran : $ a^2 - b^2 = (a+b)(a-b) $
*). Persamaan kuadrat (PK) $ ax^2 + bx + c = 0 $ memiliki akar-akar $ x_1 $ dan $ x_2 $.
*). Operasi akar-akar :
$ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} \, $ dan $ x_1.x_2 = \frac{c}{a} $
$ x_1 - x_2 = \frac{\sqrt{D}}{a} \, $ untuk $ x_1 > x_2 $
dengan $ D = b^2 - 4ac $.
*). Pemfaktoran : $ a^2 - b^2 = (a+b)(a-b) $
$\clubsuit $ Pembahasan
*). PK : $ x^2 + 3x + k = 0 \, $ dengan akar-akar $ p $ dan $ q $
$ a = 1, b = 3 $ , dan $ c = k $
*). Operasi akar-akarnya :
$p + q = \frac{-b}{a} = \frac{-3}{1} = -3 $
$ p.q = \frac{c}{a} = \frac{k}{1} = k $
$ q - p = \frac{b^2-4ac}{a} = \frac{3^2 - 4.1.k}{1} = \sqrt{9 - 4k}$
(hasil $ q - p $ posisif karena $ q > p $ ).
*). Menusun persamaan dalam variabel $ k $ :
$\begin{align} \frac{q+1}{p+1} - \frac{p-1}{q-1} & = -\frac{3}{2} \\ \frac{(q+1)(q-1) - (p+1)(p-1)}{(p+1)(q-1)} & = -\frac{3}{2} \\ \frac{(q^2 - 1) - (p^2 - 1)}{pq + (q - p) - 1} & = -\frac{3}{2} \\ \frac{q^2 - p^2}{pq + (q - p) - 1} & = -\frac{3}{2} \\ \frac{(q+p)(q-p)}{pq + (q - p) - 1} & = -\frac{3}{2} \\ \frac{-3.\sqrt{9 - 4k} }{k + \sqrt{9 - 4k} - 1} & = -\frac{3}{2} \, \, \, \, \, \, \, \text{(sederhanakan)} \\ \frac{\sqrt{9 - 4k} }{k + \sqrt{9 - 4k} - 1} & = \frac{1}{2} \\ 2\sqrt{9 - 4k} & = k + \sqrt{9 - 4k} - 1 \\ \sqrt{9 - 4k} & = k - 1 \, \, \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ 9 - 4k & = k^2 - 2k + 1 \\ k^2 + 2k - 8 & = 0 \\ (k -2)(k+4) & = 0 \\ k = 2 \vee k & = -4 \end{align} $
*). Syarat nilai $ p $ dan $ q $ :
Dari bentuk persamaan $ \frac{q+1}{p+1} - \frac{p-1}{q-1} = -\frac{3}{2} $, maka $ p \neq -1 $ dan $ q \neq 1 $ karena penyebut tidak boleh bernilai nol pada pecahan.
*). Kita cek untuk setiap nilai $ k $ dengan $ p < q $ :
-). untuk $ k = 2 $
$ \begin{align} x^2 + 3x + k & = 0 \\ x^2 + 3x + 2 & = 0 \\ \, \, \, \, \, (x +1)(x+2) & = 0 \\ x = -1 \vee x & = -2 \end{align} $
artinya $ p = -2 $ dan $ q = -1 $, memenuhi syarat nilai $ p $ dan $ q $
-). untuk $ k = -4 $
$ \begin{align} x^2 + 3x + k & = 0 \\ x^2 + 3x - 4 & = 0 \\ \, \, \, \, \, (x -1)(x+4) & = 0 \\ x = 1 \vee x & = -4 \end{align} $
artinya $ p = -4 $ dan $ q = 1 $, tidak memenuhi syarat nilai $ q $
Sehingga nilai $ k $ yang memenuhi hanya $ k = 2 $.
artinya jumlah semua nilai $ k $ adalah 2.
Jadi, jumlah semua nilai $ k $ adalah $ 2 . \, \heartsuit $
*). PK : $ x^2 + 3x + k = 0 \, $ dengan akar-akar $ p $ dan $ q $
$ a = 1, b = 3 $ , dan $ c = k $
*). Operasi akar-akarnya :
$p + q = \frac{-b}{a} = \frac{-3}{1} = -3 $
$ p.q = \frac{c}{a} = \frac{k}{1} = k $
$ q - p = \frac{b^2-4ac}{a} = \frac{3^2 - 4.1.k}{1} = \sqrt{9 - 4k}$
(hasil $ q - p $ posisif karena $ q > p $ ).
*). Menusun persamaan dalam variabel $ k $ :
$\begin{align} \frac{q+1}{p+1} - \frac{p-1}{q-1} & = -\frac{3}{2} \\ \frac{(q+1)(q-1) - (p+1)(p-1)}{(p+1)(q-1)} & = -\frac{3}{2} \\ \frac{(q^2 - 1) - (p^2 - 1)}{pq + (q - p) - 1} & = -\frac{3}{2} \\ \frac{q^2 - p^2}{pq + (q - p) - 1} & = -\frac{3}{2} \\ \frac{(q+p)(q-p)}{pq + (q - p) - 1} & = -\frac{3}{2} \\ \frac{-3.\sqrt{9 - 4k} }{k + \sqrt{9 - 4k} - 1} & = -\frac{3}{2} \, \, \, \, \, \, \, \text{(sederhanakan)} \\ \frac{\sqrt{9 - 4k} }{k + \sqrt{9 - 4k} - 1} & = \frac{1}{2} \\ 2\sqrt{9 - 4k} & = k + \sqrt{9 - 4k} - 1 \\ \sqrt{9 - 4k} & = k - 1 \, \, \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ 9 - 4k & = k^2 - 2k + 1 \\ k^2 + 2k - 8 & = 0 \\ (k -2)(k+4) & = 0 \\ k = 2 \vee k & = -4 \end{align} $
*). Syarat nilai $ p $ dan $ q $ :
Dari bentuk persamaan $ \frac{q+1}{p+1} - \frac{p-1}{q-1} = -\frac{3}{2} $, maka $ p \neq -1 $ dan $ q \neq 1 $ karena penyebut tidak boleh bernilai nol pada pecahan.
*). Kita cek untuk setiap nilai $ k $ dengan $ p < q $ :
-). untuk $ k = 2 $
$ \begin{align} x^2 + 3x + k & = 0 \\ x^2 + 3x + 2 & = 0 \\ \, \, \, \, \, (x +1)(x+2) & = 0 \\ x = -1 \vee x & = -2 \end{align} $
artinya $ p = -2 $ dan $ q = -1 $, memenuhi syarat nilai $ p $ dan $ q $
-). untuk $ k = -4 $
$ \begin{align} x^2 + 3x + k & = 0 \\ x^2 + 3x - 4 & = 0 \\ \, \, \, \, \, (x -1)(x+4) & = 0 \\ x = 1 \vee x & = -4 \end{align} $
artinya $ p = -4 $ dan $ q = 1 $, tidak memenuhi syarat nilai $ q $
Sehingga nilai $ k $ yang memenuhi hanya $ k = 2 $.
artinya jumlah semua nilai $ k $ adalah 2.
Jadi, jumlah semua nilai $ k $ adalah $ 2 . \, \heartsuit $
Tidak ada komentar:
Posting Komentar
Catatan: Hanya anggota dari blog ini yang dapat mengirim komentar.