Soal yang Akan Dibahas
Diketahui $ f(x) = x^2 + ax + b $. Jika
$ \displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{f(x)}{x-3} = 2 $,
maka $ a - b = .... $
A). $ 7 \, $ B). $ 4 \, $ C). $ 1 \, $ D). $ -3 \, $ E). $ -7 $
A). $ 7 \, $ B). $ 4 \, $ C). $ 1 \, $ D). $ -3 \, $ E). $ -7 $
$\spadesuit $ Konsep Dasar Limit Fungsi
*). Jika $ \displaystyle \lim_{x \to k} \frac{f(x)}{g(x)} = \, $ angka dan $ g(k) = 0 \, $ , maka haruslah $ f(k) = 0 $. Sehingga bentukya $ \frac{0}{0} \, $ yang biasa disebut bentuk tak tentu.
*). Aplikasi turunan pada limit (dalil L'Hopital) :
jika $ \displaystyle \lim_{x \to k} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0} $ , maka solusinya $ \displaystyle \lim_{x \to k} \frac{f(x)}{g(x)} = \displaystyle \lim_{x \to k} \frac{f^\prime (x)}{g^\prime (x)} $.
*). Jika $ \displaystyle \lim_{x \to k} \frac{f(x)}{g(x)} = \, $ angka dan $ g(k) = 0 \, $ , maka haruslah $ f(k) = 0 $. Sehingga bentukya $ \frac{0}{0} \, $ yang biasa disebut bentuk tak tentu.
*). Aplikasi turunan pada limit (dalil L'Hopital) :
jika $ \displaystyle \lim_{x \to k} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0} $ , maka solusinya $ \displaystyle \lim_{x \to k} \frac{f(x)}{g(x)} = \displaystyle \lim_{x \to k} \frac{f^\prime (x)}{g^\prime (x)} $.
$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyusun persamaan
*). Fungsinya : $ f(x) = x^2 + ax + b $
-). Persamaan pertama
$ \displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{f(x)}{x-3} = 2 \rightarrow \frac{f(3)}{3-3} = 2 \rightarrow \frac{f(3)}{0} = 2 $
Haruslah $ f(3) = 0 \, $ (berdasarkan konsep dasar limit), sehingga
$ \begin{align} f(x) & = x^2 + ax + b \\ f(3) & = 0 \\ 3^2 + a.3 + b & = 0 \\ 3a + b & = -9 \, \, \, \, \, \, \text{....(i)} \end{align} $
-). Persamaan kedua : $ f(x) = x^2 + ax + b \rightarrow f^\prime (x) = 2x + a $
Menyelesaikan limitnya dengan turunan :
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{f(x)}{x-3} & = 2 \, \, \, \, \, \text{(turunan)} \\ \displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{f^\prime (x)}{1} & = 2 \\ \displaystyle \lim_{x \to 3} f^\prime (x) & = 2 \\ \displaystyle \lim_{x \to 3} (2x+a) & = 2 \\ (2.3+a) & = 2 \\ a & = 2 - 6 = -4 \end{align} $
Pers(i): $ 3a + b = -9 \rightarrow 3.(-4) + b = -9 \rightarrow b = 3 $
Sehingga nilai $ a - b = -4 - 3 = -7 $
Jadi, nilai $ a - b = -7 . \, \heartsuit $
*). Menyusun persamaan
*). Fungsinya : $ f(x) = x^2 + ax + b $
-). Persamaan pertama
$ \displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{f(x)}{x-3} = 2 \rightarrow \frac{f(3)}{3-3} = 2 \rightarrow \frac{f(3)}{0} = 2 $
Haruslah $ f(3) = 0 \, $ (berdasarkan konsep dasar limit), sehingga
$ \begin{align} f(x) & = x^2 + ax + b \\ f(3) & = 0 \\ 3^2 + a.3 + b & = 0 \\ 3a + b & = -9 \, \, \, \, \, \, \text{....(i)} \end{align} $
-). Persamaan kedua : $ f(x) = x^2 + ax + b \rightarrow f^\prime (x) = 2x + a $
Menyelesaikan limitnya dengan turunan :
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{f(x)}{x-3} & = 2 \, \, \, \, \, \text{(turunan)} \\ \displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{f^\prime (x)}{1} & = 2 \\ \displaystyle \lim_{x \to 3} f^\prime (x) & = 2 \\ \displaystyle \lim_{x \to 3} (2x+a) & = 2 \\ (2.3+a) & = 2 \\ a & = 2 - 6 = -4 \end{align} $
Pers(i): $ 3a + b = -9 \rightarrow 3.(-4) + b = -9 \rightarrow b = 3 $
Sehingga nilai $ a - b = -4 - 3 = -7 $
Jadi, nilai $ a - b = -7 . \, \heartsuit $
Tidak ada komentar:
Posting Komentar
Catatan: Hanya anggota dari blog ini yang dapat mengirim komentar.