Pembahasan Limit Takhingga SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 124

Soal yang Akan Dibahas
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, x\left( \sec \frac{1}{\sqrt{x}} - 1 \right) = .... $
A). $ 1 \, $ B). $ \frac{1}{2} \, $ C). $ 0 \, $ D). $ -\frac{1}{2} \, $ E). $ -1 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sifat limit trigonometri :
$ \displaystyle \lim_{y \to 0} \frac{\sin ay}{\sin by} = \frac{a}{b} $.
*). Rumus Trigonometri :
$ \cos A = 1 - 2\sin ^2 \frac{1}{2} A \, $ dan $ \sec A = \frac{1}{\cos A} $
$ 1 - \cos A = 2\sin \frac{1}{2} A \sin \frac{1}{2} A $
Sehingga :
$ 1 - \cos y = 2\sin \frac{1}{2}y \sin \frac{1}{2}y $
*). Bentuk pecahan : $ a.b = \frac{b}{\frac{1}{a}} = \frac{b}{\frac{1}{\sqrt{a}} . \frac{1}{\sqrt{a}} } $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan $ \frac{1}{\sqrt{x}} = y $, sehingga untuk $ x $ mendekati $ \infty $ maka $ y $ mendekati $0$.
*). Menyelesaikan soal :
$\begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, x\left( \sec \frac{1}{\sqrt{x}} - 1 \right) \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, \frac{\left( \sec \frac{1}{\sqrt{x}} - 1 \right)}{\frac{1}{x}} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, \frac{\left( \sec \frac{1}{\sqrt{x}} - 1 \right)}{\frac{1}{\sqrt{x}}.\frac{1}{\sqrt{x}}} \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \frac{\left( \sec y - 1 \right)}{y.y} \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \frac{\left( \frac{1}{\cos y} - 1 \right)}{y.y} \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \frac{\left( \frac{1 - \cos y}{\cos y} \right)}{y.y} \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \frac{\left( 1 - \cos y \right)}{y.y} \times \frac{1}{ \cos y} \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \frac{2\sin \frac{1}{2}y \sin \frac{1}{2}y}{y.y} \times \frac{1}{ \cos y} \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, 2 . \frac{\sin \frac{1}{2}y}{y} .\frac{ \sin \frac{1}{2}y}{y} \times \frac{1}{ \cos y} \\ & = 2. \frac{1}{2} . \frac{1}{2} . \frac{1}{1} = \frac{1}{2} \end{align} $
Jadi, hasil limitnya adalah $ \frac{1}{2} . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar

Catatan: Hanya anggota dari blog ini yang dapat mengirim komentar.