Kode 250 Pembahasan Limit Trigonometri SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x(\sqrt{x+4} - 2)}{1 - \cos x} = .... $
A). $ 0 \, $ B). $ \frac{1}{2} \, $ C). $ 1 \, $ D). $ 1\frac{1}{2} \, $ E). $ 2 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Limit Trigonometri
*). Sifat Limit Trigonometri :
$ \displaystyle \lim_{ x \to 0 } \frac{\sin ax}{bx} = \frac{a}{b} $
*). Rumus Trigonometri :
$ \cos p x = 1 - 2 \sin^2 \frac{1}{2} (px) \, $ sehingga :
$ 1 - \cos x = 1 - ( 1 - 2 \sin ^2 \frac{1}{2} x ) = 2 . \sin \frac{1}{2} x . \sin \frac{1}{2} x $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan Limitnya :
$\begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x(\sqrt{x+4} - 2)}{1 - \cos x} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x(\sqrt{x+4} - 2)}{1 - \cos x} . \frac{(\sqrt{x+4} + 2)}{(\sqrt{x+4} + 2)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x(\sqrt{x+4} - 2).(\sqrt{x+4} + 2)}{(1 - \cos x).(\sqrt{x+4} + 2)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x((x + 4) - 4)}{(2 . \sin \frac{1}{2} x . \sin \frac{1}{2} x).(\sqrt{x+4} + 2)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x.x}{(2 . \sin \frac{1}{2} x . \sin \frac{1}{2} x).(\sqrt{x+4} + 2)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin \frac{1}{2} x } . \frac{x}{\sin \frac{1}{2} x } . \frac{1}{2 (\sqrt{x+4} + 2)} \\ & = \frac{1}{\frac{1}{2} } . \frac{1}{ \frac{1}{2} } . \frac{1}{2 (\sqrt{0+4} + 2)} \\ & = 2. 2 . \frac{1}{2 (2 + 2)} \\ & = 2. 2 . \frac{1}{8} = \frac{1}{2} \end{align} $
Jadi, hasil limitnya adalah $ \frac{1}{2} . \, \heartsuit $



Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Kode 250 Pembahasan Suku Banyak SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Fungsi $ f(x) $ dan $ g(x) $ adalah fungsi dengan sifat $ f(-x) = -f(x) $ dan $ g(-x) = -g(x) $. Jika sisa pembagian $f(x) $ oleh $ x^2 - 3x - 4 $ adalah $ 2x - 1 $ dan sisa pembagian $ xg(x) $ oleh $ x^2 + 3x - 4 $ adalah $ x + 8 $ , maka sisa pembagian $ (x+2)f(x)g(x) $ oleh $ x^2+5x+4$ adalah .....
A). $ \frac{41}{3}x + \frac{122}{3} \, $ B). $ -\frac{13}{3}x - \frac{94}{3} \, $
C). $ \frac{41}{5}x + \frac{94}{5} \, $ D). $ -\frac{13}{5}x + \frac{122}{5} \, $
E). $ \frac{13}{5}x - \frac{122}{5} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Pembagian Suku Banyak
$ f(x) = p(x).h(x) + s(x) $
Keterangan :
$ f(x) = \, $ suku banyak yang dibagi,
$ p(x) = \, $ pembagi,
$ h(x) = \, $ hasil bagi,
$ s(x) = \, $ sisa pembagian.

$\clubsuit $ Pembahasan :
*). $ f(x) \, $ dibagi dengan $ p(x) = x^2 - 3x - 4 $ bersisa $ s(x) = 2x -1 $ dan hasil bagi $ h_1(x) $ :
$ f(x) = (x^2 - 3x - 4).h_1(x) + (2x - 1) $
$ f(x) = (x + 1 )(x - 4).h_1(x) + (2x - 1) $
Substitusi akar-akar pembaginya yaitu $ (x + 1 )(x - 4)=0 \rightarrow x = -1 \vee x = 4 $
$ \begin{align} x = -1 \rightarrow f(x) & = (x + 1 )(x - 4).h_1(x) + (2x - 1) \\ f(-1) & = (-1 + 1 )(-1 - 4).h_1(-1) + (2.(-1) - 1) \\ f(-1) & = -3 \\ x = 4 \rightarrow f(x) & = (x + 1 )(x - 4).h_1(x) + (2x - 1) \\ f(4) & = (4 + 1 )(4 - 4).h_1(4) + (2.4 - 1) \\ f(4) & = 7 \end{align} $
Karena $ f(-x) = -f(x) $ , maka $ f(-4) = -f(4) \rightarrow f(-4) = -7 $.

*). $ xg(x) \, $ dibagi dengan $ p(x) = x^2 + 3x - 4 $ dengan sisa $ s(x) = x + 8 $ dan hasil bagi $ h_2(x) $ :
$ xg(x) = (x^2 +3x -4).h_2(x) + (x + 8) $
$ xg(x) = (x-1)(x+4).h_2(x) + (x + 8) $
Substitusi akar-akar pembaginya yaitu $ (x-1)(x+4)=0 \rightarrow x = 1 \vee x = -4 $
$ \begin{align} x = 1 \rightarrow xg(x) & = (x-1)(x+4).h_2(x) + (x + 8) \\ 1.g(1) & = (1-1)(1+4).h_2(1) + (1 + 8) \\ g(1) & = 9 \\ x = -4 \rightarrow xg(x) & = (x-1)(x+4).h_2(x) + (x + 8) \\ -4.g(-4) & = (-4-1)(-4+4).h_2(-4) + (-4 + 8) \\ -4.g(-4) & = 4 \\ g(-4) & = -1 \end{align} $
Karena $ g(-x) = -g(x) $ , maka $ g(-1) = -g(1) \rightarrow g(-1) = -9 $.

*). $ (x+2)f(x)g(x) \, $ dibagi dengan $ p(x) = x^2 + 5x + 4 $ misalkan sisanya $ s(x) = ax + b $ dan hasil bagi $ h_3(x) $ :
$ (x+2)f(x)g(x) = (x^2 + 5x + 4).h_3(x) + (ax+b) $
$ (x+2)f(x)g(x) = (x+1)(x+4).h_3(x) + (ax+b) $
Substitusi akar-akar pembaginya yaitu $ (x+1)(x+4)=0 \rightarrow x = -1 \vee x = -4 $
$ \begin{align} x = -1 \rightarrow (x+2)f(x)g(x) & = (x+1)(x+4).h_3(x) + (ax+b) \\ (-1+2)f(-1)g(-1) & = (-1+1)(-1+4).h_3(-1) + (a.(-1)+b) \\ 1.(-3).(-9) & = -a + b \\ 27 & = -a + b \\ b & = a + 27 \, \, \, \, \, \, \, \text{....pers(i)} \\ x = -4 \rightarrow (x+2)f(x)g(x) & = (x+1)(x+4).h_3(x) + (ax+b) \\ (-4+2)f(-4)g(-4) & = (-4+1)(-4+4).h_3(-4) + (a.(-4)+b) \\ (-2).(-7).(-1) & = -4a + b \\ -4a + b & = -14 \, \, \, \, \, \, \, \text{....pers(ii)} \end{align} $

*). Substitusi pers(i) ke pers(ii) :
$\begin{align} b = a + 27 \rightarrow -4a + b & = -14 \\ -4a + (a + 27) & = -14 \\ -3a & = -14 - 27 \\ -3a & = -41 \\ a & = \frac{41}{3} \end{align} $
pers(i) : $ b = a + 27 = \frac{41}{3} + 27 = \frac{122}{3} $.
Sehingga sisa pembagian $ (xf+2)(x)g(x) $ oleh $ x^2 + 5x + 4 $ adalah $ ax + b = \frac{41}{3} x + \frac{122}{3} $.
Jadi, sisa pembagiannya adalah $ \frac{41}{3} x + \frac{122}{3} . \, \heartsuit $

Catatan :
Untuk mngerjakan soal ini bisa juga menggunakan teorema sisa.



Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:
Langganan: Postingan (Atom)