Pembahasan Eksponen Logaritma UTUL UGM 2017 Matematika Dasar Kode 723

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ 2^{y+3x} = 32 $ dan $ {}^x \log (x+2) - 3 \, {}^x \log 2 = -1 $ , maka $ 2x + y = .... $
A). $ 1 \, $ B). $ 2 \, $ C). $ 3 \, $ D). $ 5 \, $ E). $ 9 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Konsep persamaan eksponen :
$ a^{f(x)} = a^{g(x)} \rightarrow f(x) = g(x) $
sifat : $ a^{-n} = \frac{1}{a^n} $
*). Konsep logaritma :
$ n.{}^a \log b = {}^a \log b^n $
$ {}^a \log b - {}^a \log c = {}^a \log \frac{b}{c} $
$ {}^a \log f(x) = {}^a \log g(x) \rightarrow f(x) = g(x) $.
Syarat $ {}^a \log b $ adalah $ a > 0 , a \neq 1 $ dan $ b > 0 $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Persamaan pertama :
$\begin{align} 2^{y+3x} & = 32 \\ 2^{y+3x} & = 2^5 \\ y+3x & = 5 \\ y & = 5 - 3x \, \, \, \, \, \, \text{...pers(i)} \end{align} $
*). Persamaan Kedua :
$ \begin{align} {}^x \log (x+2) - 3 \, {}^x \log 2 & = -1 \\ {}^x \log (x+2) - {}^x \log 2^3 & = -1 . {}^x \log x \\ {}^x \log (x+2) - {}^x \log 8 & = {}^x \log x^{-1} \\ {}^x \log \frac{(x+2)}{8} & = {}^x \log \frac{1}{x} \\ \frac{(x+2)}{8} & = \frac{1}{x} \\ x^2 + 2x & = 8 \\ x^2 + 2x - 8 & = 0 \\ (x+4)(x-2) & = 0 \\ x = -4 \vee x & = 2 \end{align} $
Syarat logaritma : numerus harus positif, sehingga $ x = 2 $ yang memenuhi.
Pers(i) : $ y = 5 - 3x = 5 - 3.2 = -1 $.
Nilai $ 2x + y = 2.2 + (-1) = 4 - 1 = 3 $.
Jadi, nilai $ 2x + y = 3 . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Pembahasan Kombinatorik UTUL UGM 2017 Matematika Dasar Kode 723

Soal yang Akan Dibahas
Diberikan bilangan asli $ a, b, c, d $ yang memenuhi $ 4 \leq a \leq b \leq 6 \leq c \leq d \leq 8 $ . Rata-rata $ 4,a,b,6,c,d,8 $ adalah 6. Banyaknya susunan $(a,b,c,d) $ yang mungkin adalah ....
A). $ 24 \, $ B). $ 12 \, $ C). $ 9 \, $ D). $ 8 \, $ E). $ 7 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rata-rata $ = \frac{\text{total nilai}}{\text{banyak nilai}} $
*). Tanda $ \leq $ artinya lebih kecil atau sama dengan,
Misalkan $ a $ bilangan asli dengan $ a \leq 5 $,
artinya $ a = \{ 1,2,3,4,5\} $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Rata-rata $ 4,a,b,6,c,d,8 $ adalah $ 6 $ :
$\begin{align} \text{rata-rata } & = 6 \\ \frac{4+a+b+6+c+d+8}{7} & = 6 \\ 4+a+b+6+c+d+8 & = 42 \\ a+b+c+d & = 24 \end{align} $
*). Untuk menentukan susunan $(a,b,c,d) $ yang memenuhi $ a + b + c + d = 24 $ dan $ 4 \leq a \leq b \leq 6 \leq c \leq d \leq 8 $ , sebaiknya kita daftarkan langsung saja seperti berikut ini dengan memilih nilai $ a $ terlebih dulu (sebenarnya bebas yang dipilih duluan).
Susunan yang mungkin :
$ \begin{align} a = 4 \rightarrow (a,b,c,d) & = (4,4,8,8) \\ & = (4,5,7,8) \\ & = (4,6,6,8) \\ & = (4,6,7,7) \\ a = 5 \rightarrow (a,b,c,d) & = (5,5,6,8) \\ & = (5,5,7,7) \\ & = (5,6, 6, 7) \\ a = 6 \rightarrow (a,b,c,d) & = (6,6,6,6) \end{align} $
Ada 8 susunan yang terbentuk.
Jadi, banyak susunan ada $ 8 . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Pembahasan Barisan Aritmetika Logaritma UTUL UGM 2017 Matematika Dasar Kode 723

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ {}^2 \log (x+3), \, {}^2 \log (6x+2) $ , dan $ {}^2 \log (26x-2) $ membentuk barisan aritmetika, maka beda barisan tersebut adalah ....
A). $ 1 \, $ B). $ 2 \, $ C). $ 3 \, $ D). $ 4 \, $ E). $ 5 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Ciri-ciri barisan aritmetika : Selisih sama.
Rumus Beda : $ b = U_2 - U_1 = U_3 - U_2 = ...=U_n-U_{n-1} $.
*). Sifat-sifat logaritma :
$ n.{}^a \log b = {}^a \log b ^n $
$ {}^a \log b + {}^a \log c = {}^a \log b.c $
*). Persamaan logaritma :
$ {}^a \log f(x) = {}^a \log g(x) \rightarrow f(x) = g(x) $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Barisan aritmetika memiliki selisih sama :
$\begin{align} U_2 - U_1 & = U_3 - U_2 \\ 2U_2 & = U_1 + U_3 \\ 2. {}^2 \log (6x+2) & = {}^2 \log (x+3) + {}^2 \log (26x-2) \\ {}^2 \log (6x+2)^2 & = {}^2 \log (x+3)(26x-2) \\ {}^2 \log (36x^2 + 24x + 4) & = {}^2 \log (26x^2 + 76x - 6) \\ (36x^2 + 24x + 4) & = (26x^2 + 76x - 6) \\ 10x^2 - 52x + 10 & = 0 \, \, \, \, \, \, \, \text{(bagi 2)} \\ 5x^2 - 26x + 5 & = 0 \\ (5x - 1)(x - 5) & = 0 \\ x = \frac{1}{5} \vee x & = 5 \end{align} $
*). Menentukan Beda ($b$) berdasarkan nilai $ x $ :
$ U_1 = {}^2 \log (x+3), U_2 = {}^2 \log (6x+2), U_3 = {}^2 \log (26x-2) $
$\begin{align} x = \frac{1}{5} \rightarrow b & = U_2 - U_1 \\ & = {}^2 \log (6. \frac{1}{5}+2) - {}^2 \log ( \frac{1}{5}+3) \\ & = {}^2 \log (\frac{16}{5}) - {}^2 \log ( \frac{16}{5}) = 0 \\ x = 5 \rightarrow b & = U_2 - U_1 \\ & = {}^2 \log (6. 5+2) - {}^2 \log ( 5+3) \\ & = {}^2 \log (32) - {}^2 \log ( 8) = 5 - 3 = 2 \end{align} $
Jadi, bedanya adalah $ 2 . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Pembahasan Terapan Turunan UTUL UGM 2017 Matematika Dasar Kode 723

Soal yang Akan Dibahas
Fungsi $ f(x) = \frac{\sqrt{x^2+4}}{3} - \frac{x}{5} $ mencapai minimum relatif di $ x = .... $
A). $ \frac{5}{2} \, $ B). $ \frac{3}{2} \, $ C). $ \frac{2}{3} \, $ D). $ \frac{1}{2} \, $ E). $ \frac{2}{5} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Terapan Turunan
*). Fungsi $ y = f(x) $ akan maksimum/minimum untuk $ x $ yang memenuhi $ f^\prime (x) = 0 $.
*). Untuk mengecek jenis maksimum atau minimumnya, kita bisa menggunakan uji turunan pertama dengan langkah-langkah :
1). Buat garis bilangan dari $ x $ yang kita peroleh,
2). tentukan tanda (+/$-$) pada daerah yang terbentuk dengan uji titik ke turunan pertamanya.
3). Tentukan jenisnya (maksimum/minimum) yaitu :
Jika puncak di atas, maka maksimum
Jika puncak di bawah, maka minimum.
*). Turunan bentuk akar :
$ y = \sqrt{g(x)} \rightarrow y^\prime = \frac{g^\prime (x)}{2\sqrt{g(x)}} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan turunan pertama dan syarat $ f^\prime (x) = 0 $ :
$\begin{align} f(x) & = \frac{\sqrt{x^2+4}}{3} - \frac{x}{5} \\ f(x) & = \frac{1}{3} \sqrt{x^2+4} - \frac{x}{5} \\ f^\prime (x) & = \frac{1}{3}. \frac{2x}{2 \sqrt{x^2+4} } - \frac{1}{5} \\ 0 & = \frac{x}{3 \sqrt{x^2+4} } - \frac{1}{5} \\ \frac{1}{5} & = \frac{x}{3 \sqrt{x^2+4} } \\ 5x & = 3 \sqrt{x^2+4} \, \, \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ 25x^2 & = 9(x^2+4) \\ 25x^2 & = 9x^2+ 36 \\ 16x^2 & = 36 \\ x^2 & = \frac{ 36}{16} \\ x & = \pm \sqrt{ \frac{ 36}{16} } = \pm \frac{6}{4} = \pm \frac{3}{2} \\ x & = \frac{3}{2} \vee x = - \frac{3}{2} \end{align} $
*). Garis bilangan untuk cek jenisnya :
 
Artinya fungsi $ f(x) = \frac{\sqrt{x^2+4}}{3} - \frac{x}{5} $ akan :
-). Maksimum relatif pada saat $ x = -\frac{3}{2} $ dan
-). Minimum relatif pada saat $ x = \frac{3}{2} $.
Jadi, minimum relatif saat $ x = \frac{3}{2} . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Pembahasan Turunan Fungsi UTUL UGM 2017 Matematika Dasar Kode 723

Soal yang Akan Dibahas
Fungsi dengan persamaan $ f(x) = \frac{2x+a}{x + 2b} $ memenuhi $ f^\prime (1) = 1 $ dan $ f(b) = -\frac{2}{3} $. Nilai $ b $ yang memenuhi adalah ....
A). $ -1 \, $ B). $ -\frac{4}{5} \, $ C). $ -\frac{2}{3} \, $ D). $ -\frac{1}{4} \, $ E). $ \frac{1}{2} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Turunan Fungsi
*). Turunan fungsi pecahan :
$ y = \frac{U}{V} \rightarrow y^\prime = \frac{U^\prime . V - U. V^\prime}{V^2} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyusun persamaan pertama : $ f(b) = -\frac{2}{3} $
$\begin{align} f(x) & = \frac{2x+a}{x + 2b} \\ f(b) & = -\frac{2}{3} \\ \frac{2b+a}{b + 2b} & = -\frac{2}{3} \\ \frac{2b+a}{3b} & = -\frac{2}{3} \\ \frac{2b+a}{b} & = -\frac{2}{1} \\ 2b+a & = -2b \\ a & = -4b \, \, \, \, \, \, \, \text{...pers(i)} \end{align} $
*). Menentukan turunan dan $ f^\prime (1) = 1 $ :
$\begin{align} f(x) & = \frac{2x+a}{x + 2b} = \frac{U}{V} \\ U & = 2x + a \rightarrow U^\prime = 2 \\ V & = x + 2b \rightarrow V^\prime = 1 \\ f^\prime (x) & = \frac{U^\prime . V - U. V^\prime}{V^2} \\ f^\prime (x) & = \frac{2(x+2b) - (2x+a).1}{(x+2b)^2} \\ f^\prime (x) & = \frac{4b - a}{(x+2b)^2} \\ f^\prime (1) & = 1 \\ \frac{4b - a}{(1+2b)^2} & = 1 \, \, \, \, \, \text{...dari pers(i)} \\ \frac{4b - (-4b)}{4b^2 + 4b + 1} & = 1 \\ 8b & = 1 + 4b + 4b^2 \\ 0 & = 4b^2 - 4b + 1 \\ 0 & = (2b-1)^2 \\ 0 & = 2b - 1 \\ b & = \frac{1}{2} \end{align} $
Jadi, nilai $ b = \frac{1}{2} . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:
Langganan: Postingan (Atom)