dunia informa

Pembahasan Bentuk Akar UM UGM 2007 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas

$ \frac{5(\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{3} - \sqrt{2})^3}{2\sqrt{2} - \sqrt{3}} = .... $
A). $ \sqrt{3} - \sqrt{2} \, $
B). $ 3\sqrt{3} - 2\sqrt{2} \, $
C). $ 2\sqrt{2} - 3\sqrt{3} $
D). $ 3\sqrt{2} - 2\sqrt{3} $
E). $ 4\sqrt{2} - 3\sqrt{3} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Bentuk perkalian :
$( \sqrt{a} + \sqrt{b})( \sqrt{a} - \sqrt{b}) = a - b $
*). Sifat bentuk akar : $ \sqrt{a.b} = \sqrt{a}. \sqrt{b} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan soal :
$\begin{align} & \frac{5(\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{3} - \sqrt{2})^3}{2\sqrt{2} - \sqrt{3}} \\ & = \frac{5(\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{3} - \sqrt{2}) (\sqrt{3} - \sqrt{2})^2}{2\sqrt{2} - \sqrt{3}} \\ & = \frac{5(3 - 2) (\sqrt{3} - \sqrt{2})^2}{2\sqrt{2} - \sqrt{3}} \\ & = \frac{5(\sqrt{3} - \sqrt{2})^2}{2\sqrt{2} - \sqrt{3}} \\ & = \frac{5(3 - 2\sqrt{6} + 2)}{2\sqrt{2} - \sqrt{3}} \\ & = \frac{5(5 - 2\sqrt{6})}{2\sqrt{2} - \sqrt{3}} \\ & = \frac{5(5 - 2\sqrt{6})}{2\sqrt{2} - \sqrt{3}} . \frac{2\sqrt{2} + \sqrt{3}}{2\sqrt{2} + \sqrt{3}} \\ & = \frac{5( 10\sqrt{2} + 5\sqrt{3} - 4\sqrt{12} - 2\sqrt{18})}{(2\sqrt{2})^2 - (\sqrt{3})^2} \\ & = \frac{5( 10\sqrt{2} + 5\sqrt{3} - 4. \sqrt{4}.\sqrt{3} - 2.\sqrt{9}.\sqrt{2})}{(2\sqrt{2})^2 - (\sqrt{3})^2} \\ & = \frac{5( 10\sqrt{2} + 5\sqrt{3} - 4. 2 \sqrt{3} - 2. 3\sqrt{2})}{8 - 3} \\ & = \frac{5( 10\sqrt{2} + 5\sqrt{3} - 8 \sqrt{3} - 6\sqrt{2})}{5} \\ & = 4\sqrt{2} - 3\sqrt{3} \end{align} $
Jadi, hasilnya adalah $ 4\sqrt{2} - 3\sqrt{3} . \, \heartsuit $

Soal dan Pembahasan UM UGM 2007 Matematika Dasar

Nomor 1

Nomor 2

Jika $ {}^3 \log 8 = x \, $ dan $ {}^3 \log 25 = y $ , maka $ {}^3 \log 15\sqrt[3]{16} = .... $
A). $ 9x + 8y + 18 \, $
B). $ \frac{9x + 8y + 18}{18} \, $
C). $ 8x + 9y + 18 \, $
D). $\frac{ 8x + 9y + 18 }{18} \, $
E). $ \frac{2x+3y+5}{7} $

Nomor 3

Penyelesaian persamaan $ 3^{2x+2} + 8.3^x - 1 = 0 $ terletak pada interval ....
A). $ \left[ -\frac{1}{2}, 0 \right] $
B). $ \left[2, 0 \right] $
C). $ \left[ -\frac{1}{2}, \frac{1}{2} \right] $
D). $ \left[ \frac{1}{2}, 1 \right] $
E). $ \left[ 1, 2 \right] $

Nomor 4

Persamaan garis yang melalui titik potong garis $ 2x + 2y - 4 = 0 $ dan $ x - 2y - 5 = 0 $ dan tegak lurus pada garis $ 12x + 6y - 3 = 0 $ adalah $ x + by + c = 0 $. Nilai $ b + c \, $ adalah .....
A). $ -7 \, $ B). $ -3\frac{1}{2} \, $ C). $1\frac{1}{2} \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 5 \, $

Nomor 5

Jika $ x $ dan $ y $ memenuhi $ \frac{2x+3y+2}{x+y} = 2 $ dan $ \frac{3x-y+1}{4x+5y}= 6 $ , maka $ x - y = .... $
A). $ 6 \, $ B). $ 5 \, $ C). $ 4 \, $ D). $ -4 \, $ E). $ -5 \, $

Nomor 6

Jika fungsi $ f(x) = ax^2 + bx + c $ mencapai meinimum di $ x = 0 $ dan grafik fungsi $ f $ melalui titik $ (0,2) $ dan $ (1,8) $ , maka nilai $ a + b + 2c = .... $
A). $ 6 \, $
B). $ 8 \, $
C). $ 10 \, $
D). $ 12 \, $
E). $ 16 \, $

Nomor 7

Diberikan $ x_1 $ dan $ x_2 $ merupakan akar dari persamaan $ x^2 - px + (p+2) = 0 $ . Nilai $ x_1^2 + x_2^2 $ minimum bila nilai $ p $ sama dengan ....
A). $ -1 \, $ B). $ 0 \, $ C). $ \frac{1}{2} \, $ D). $ 1 \, $ E). $ 2 $

Nomor 8

Nilai maksimum dari $ z = 4x + 9y $ dengan syarat $ x + 2y \leq 12 $ , $ 2x + y \leq 12 $ , $ x \geq 0 $ , $ y \geq 0 $ adalah ....
A). $ 24 \, $ B). $ 42 \, $ C). $ 48 \, $ D). $ 52 \, $ E). $ 54 \, $

Nomor 9

Diketahui $ \Delta ABC $ siku-siku di B, $ \cos \alpha = \frac{4}{5} $ dan $ \tan \beta = 1 $. Jika $ AD = a $ , maka AC = ....

A). $ 4a \, $ B). $ 4\frac{1}{3}a \, $ C). $ 4\frac{2}{3}a \, $ D). $ 5a \, $ E). $ 5\frac{1}{3}a $

Nomor 10

Nilai $ \displaystyle \lim_{x \to 2 } \frac{\sqrt{x^2+5} -3}{x^2-2x} \, $ adalah ....
A). $ 0 \, $ B). $ \frac{1}{3} \, $ C). $ \frac{1}{2} \, $ D). $ \frac{3}{4} \, $ E). $ \infty $

Nomor 11

Fungsi $ y = 2x + 3\sqrt[3]{x^2} \, $ mencapai maksimum untuk $ x $ bernilai ....
A). $ 2 \, $ B). $ 1 \, $ C). $ 0 \, $ D). $ -1 \, $ E). $ -2 $

Nomor 12

Jika nilai maksimum fungsi $ f(x) = x + \sqrt{a - 3x} $ adalah 1, maka $ a = .... $
A). $ \frac{-3}{4} \, $ B). $ \frac{-1}{4} \, $ C). $ 0 \, $ D). $ \frac{1}{2} \, $ E). $ \frac{3}{4} $

Nomor 13

Jika $ x-1, \, x - \frac{3}{2}, \, x - \frac{7}{4} \, $ adalah tiga suku pertama suatu deret geometri, maka jumlah tak hingga deret tersebut adalah ....
A). $ -2 \, $ B). $ -1 \, $ C). $ -\frac{1}{2} \, $ D). $ 1 \, $ E). $ 2 $

Nomor 14

Empat buah bilangan merupakan suku berurutan suatu deret aritmetika. Hasil kali kedua suku tengahnya sama dengan 135 dan hasil kali kedua suku pinggirnya sama dengan 63. Jumlah kedua suku tengah tersebut adalah ....
A). $-35 \, $ atau $ 35 $
B). $-27 \, $ atau $ 27 $
C). $-24 \, $ atau $ 24 $
D). $-21 \, $ atau $ 21 $
E). $-15 \, $ atau $ 15 $

Nomor 15

Hasil penjualan suatu toko serba ada diperlihatkan dalam diagram lingkaran di bawah ini. Jika diketahui hasil penjualan minyak lebih besar Rp 1.260.00,- dibandingkan hasil penjualan beras, maka hasil penjualan rokok adalah ....

A). Rp 1.260.000,-
B). Rp 1.380.000,-
C). Rp 1.800.000,-
D). Rp 1.890.000,-
E). Rp 1.900.000,-

Nomor 16

Jika A dan B dua kejadian dengan $ P(B^c) = 0,45 $ , $ P(A \cap B ) = 0,45 $ dan $ P( A \cup B) = 0,85 $ , maka $ P(A^c) \, $ sama dengan ....
A). $ 0,15 \, $ B). $ 0,25 \, $ C). $ 0,45 \, $ D). $ 0,55 \, $ E). $ 0,75 $

Nomor 17

Apabila $ A = \left[ \begin{matrix} -5 & 2 \\ 2 & -1 \end{matrix} \right] $, $ A^T \, $ menyatakan transpose dari A dan $ A^{-1} $ menyatakan invers dari A, maka $ A^T + A^{-1} = .... $
A). $ \left[ \begin{matrix} -1 & -2 \\ -2 & -5 \end{matrix} \right] \, $ B). $ \left[ \begin{matrix} -1 & 2 \\ 2 & -5 \end{matrix} \right] \, $
C). $ \left[ \begin{matrix} 1 & -2 \\ -2 & 5 \end{matrix} \right] \, $ D). $ \left[ \begin{matrix} -6 & 0 \\ 0 & 6 \end{matrix} \right] \, $
E). $ \left[ \begin{matrix} -6 & 0 \\ 0 & -6 \end{matrix} \right] $

Nomor 18

Jika $ \left( \begin{matrix} -1 & 2 & 0 \\ 3 & -1 & 2 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} -1 & 1 \\ 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} p & q \\ r & s \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) $
maka $ p + q + r + s = .... $
A). $ -5 \, $ B). $ -4 \, $ C). $ 3 \, $ D). $ 4 \, $ E). $ 5 \, $

Nomor 19

Akar-akar persamaan $ x^2 - (a+3)x + 4a = 0 $ adalah $ \alpha $ dan $ \beta $. Nilai minimum dari $ \alpha ^2 + \beta ^2 + 4\alpha \beta \, $ dicapai untuk $ a = .... $
A). $ -7 $
B). $ -2 $
C). $ 2 $
D). $ 3 $
E). $ 7 $

Nomor 20

Jika matriks $ \left( \begin{matrix} {}^x \log a & \log (4a-14) \\ \log (b-4) & 1 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} \log b & 1 \\ \log a & 1 \end{matrix} \right) $ , maka $ a = .... $
A). $ 1 \, $ B). $ 4 \, $ C). $ 6 \, $ D). $ 10 \, $ E). $ 10^6 $

Pembahasan Pertidaksamaan UM UGM 2008 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas

Semua nilai $ x $ yang memenuhi pertaksamaan $ x^2 + 2x - 3 > 0 $ dan $ |6-x| > 3x \, $ adalah ....
A). $ x < -3 \, $ atau $ 0 \leq x < \frac{3}{2} $
B). $ x < \frac{3}{2} \, $
C). $ x < -3 \, $ atau $ 1 < x < \frac{3}{2} $
D). $ x < -3 \, $ atau $ x > \frac{3}{2} $
E). $ 0 < x < \frac{3}{2} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Menyelesaikan pertidaksamaan bentuk mutlak salah satu caranya menggunakan definisi bentuk mutlak.
*). Definisi bentuk mutlak :
$ |f(x)| = \left\{ \begin{array}{cc} f(x) & , \text{ untuk } f(x) \geq 0 \\ -f(x) & , \text{ untuk } f(x) < 0 \end{array} \right. $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Pertidaksamaan pertama :
$ \begin{align} x^2 + 2x - 3 & > 0 \\ (x+3)(x-1) & > 0 \\ x = -3 \vee x & = 1 \end{align} $
Garis bilangan :

Sehingga solusi : $ HP_1 = \{ x < -3 \vee x > 1 \} $
*). Pertidaksamaan kedua :
$ |6 - x| = \left\{ \begin{array}{cc} 6 - x & , \text{ untuk } x ) \leq 6 \\ -(6 - x) & , \text{ untuk } x > 6 \end{array} \right. $
-). Untuk $ x \leq 6 \rightarrow | 6 - x | = 6 - x $
$ \begin{align} |6 - x| > 3x \\ 6 - x > 3x \\ -4x > -6 \, \, \, \, \, \, \text{(bagi -4, tanda dibalik)} \\ x < \frac{3}{2} \end{align} $
Solusinya untuk $ x \leq 6 $ adalah $ x < \frac{3}{2} $
-). Untuk $ x > 6 \rightarrow | 6 - x | = -(6 - x) = x - 6 $
$ \begin{align} |6 - x| > 3x \\ x - 6 > 3x \\ -2x > 6 \, \, \, \, \, \, \text{(bagi -2, tanda dibalik)} \\ x < 3 \end{align} $
karena $ x > 6 $ maka bentuk $ x < 3 $ tidak memenuhi, artinya untuk kasus $ x > 6 $ tidak ada solusinya. Sehingga solusi pertidaksamaan kedua adalah $ HP_2 = \{ x < \frac{3}{2} \} $ .
*). Solusi kedua pertidaksamaan yaitu :
$ \begin{align} HP & = HP_1 \cap HP_2 \\ & = \{ x < -3 \vee x > 1 \} \cap \{ x < \frac{3}{2} \} \\ & = \{ x < -3 \} \, \text{ atau } \{ 1 < x < \frac{3}{2} \} \end{align} $
Jadi, nilai $ x $ yang memenuhi $ \{ x < -3 \} \, \text{ atau } \{ 1 < x < \frac{3}{2} \} . \, \heartsuit $

Pembahasan Matriks UM UGM 2008 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas

Jika $ f(x) = 3\sqrt{2x+1} $ , maka invers dari $ \frac{1}{6}\left( \begin{matrix} f(4) & -4f^\prime (1\frac{1}{2}) \\ f^\prime (4) & f(1\frac{1}{2}) \end{matrix} \right) $ adalah ....
A). $ \left( \begin{matrix} -0,9 & -0,1 \\ 0,6 & -0,6 \end{matrix} \right) \, $
B). $ \left( \begin{matrix} 0,9 & -0,6 \\ 0,1 & 0,6 \end{matrix} \right) \, $
C). $ \left( \begin{matrix} 0,6 & 0,6 \\ -0,1 & 0,9 \end{matrix} \right) \, $
D). $ \left( \begin{matrix} 0,6 & -0,6 \\ 0,1 & 0,9 \end{matrix} \right) \, $
E). $ \left( \begin{matrix} -0,6 & 0,6 \\ -0,1 & -0,9 \end{matrix} \right) \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Invers matriks :
$ A = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) \rightarrow A^{-1} = \frac{1}{|A|} \left( \begin{matrix} d & -b \\ -c & a \end{matrix} \right) $
dengan $ |A| = det(A) = ad-bc $.
*). Turunan fungsi bentuk akar :
$ y = \sqrt{f(x)} \rightarrow y^\prime (x) = \frac{f^\prime (x) }{2\sqrt{f(x)}} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan turunan dan nilai fungsi:
$ \begin{align} f(x) & = 3\sqrt{2x+1} \\ f^\prime (x) & = 3.\frac{2}{2\sqrt{2x+1}} = \frac{3}{\sqrt{2x+1}} \\ f(4) & = 3\sqrt{2.4+1} = 3 \sqrt{9} = 9 \\ f(1\frac{1}{2}) & = f(\frac{3}{2} = 3\sqrt{2.\frac{3}{2}+1} = 3 \sqrt{4} = 6 \\ f^\prime (4) & = \frac{3}{\sqrt{2.4+1}} = \frac{3}{\sqrt{9}} = 1 \\ f^\prime (1\frac{1}{2}) & =f^\prime (\frac{3}{2}) \frac{3}{\sqrt{2.\frac{3}{2}+1}} = \frac{3}{\sqrt{4}} = \frac{3}{2} \end{align} $
Sehingga matriksnya menjadi :
$ \begin{align} A & = \frac{1}{6}\left( \begin{matrix} f(4) & -4f^\prime (1\frac{1}{2}) \\ f^\prime (4) & f(1\frac{1}{2}) \end{matrix} \right) \\ & = \frac{1}{6}\left( \begin{matrix} 9 & -4 . \frac{3}{2} \\ 1 & 6 \end{matrix} \right) = \frac{1}{6}\left( \begin{matrix} 9 & -6 \\ 1 & 6 \end{matrix} \right) \\ A & = \left( \begin{matrix} \frac{9}{6} & \frac{-6}{6} \\ \frac{1}{6} & \frac{6}{6} \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} \frac{3}{2} & -1 \\ \frac{1}{6} & 1 \end{matrix} \right) \\ |A| & = \frac{3}{2}. 1 - (-1). \frac{1}{6} = \frac{3}{2} + \frac{1}{6} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3} \end{align} $
*). Menentukan $ A^{-1} $ :
$ \begin{align} A^{-1} & = \frac{1}{|A|} \left( \begin{matrix} d & -b \\ -c & a \end{matrix} \right) = \frac{1}{\frac{5}{3} } \left( \begin{matrix} 1 & 1 \\ -\frac{1}{6} & \frac{3}{2} \end{matrix} \right) \\ & = \frac{3}{5} \left( \begin{matrix} 1 & 1 \\ -\frac{1}{6} & \frac{3}{2} \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} \frac{3}{5} & \frac{3}{5} \\ -\frac{1}{10} & \frac{9}{10} \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 0,6 & 0,6 \\ -0,1 & 0,9 \end{matrix} \right) \end{align} $
Jadi, $ A^{-1} = \left( \begin{matrix} 0,6 & 0,6 \\ -0,1 & 0,9 \end{matrix} \right) . \, \heartsuit $

Pembahasan Kombinasi UM UGM 2008 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas

Ada 5 pasang tamu dalam suatu ruangan di sebuah pesta. Jika masing-masing tamu belum saling mengenal kecuali dengan pasangannya dan mereka berjabat tangan dengan setiap orang yang belum mereka kenal, maka terjadi jabat tangan sebanyak ....
A). $ 30 \, $ B). $ 35 \, $ C). $ 40 \, $ D). $ 45 \, $ E). $ 50 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Kombinasi pada Peluang
*). Untuk Kasus jabat tangan, urutan tidak diperhatikan (si A jabat B sama saja dengan si B jabat si A) sehingga penghitungannya menggunakan kombinasi dengan rumus :
$ C^n_r = \frac{n!}{(n-r)!.r!} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ada 5 pasang tamu, sehingga totalnya ada 10 orang. Jika 10 orang tersebut saling berjabat tangan, maka ada jabat tangan sebanyak :
$ \begin{align} C^{10}_2 = \frac{10!}{(10-2)!.2!} = \frac{10.9.8!}{8!.2!} = \frac{10.9}{2} = 45 \end{align} $
Artinya keseluruhan terjadi 45 jabat tangan pada 10 orang tersebut tanpa ada syarat (semuanya jabat tangan meskipun dengan pasangannya sendiri).
*). Namun ada 5 jabat tangan yang tidak sah karena terjadi jabat tangan antara pasangannya masing-masing, sehingga jabat tangan yang terbentuk adalah $ 45 - 5 = 40 $.
Jadi, ada 40 jabat tangan $ . \, \heartsuit $

Pages - Menu

Pembahasan Bentuk Akar UM UGM 2007 Matematika Dasar

Soal dan Pembahasan UM UGM 2007 Matematika Dasar

Pembahasan Pertidaksamaan UM UGM 2008 Matematika Ipa

Pembahasan Matriks UM UGM 2008 Matematika Ipa

Pembahasan Kombinasi UM UGM 2008 Matematika Ipa