Cara 2 Pembahasan Garis Singgung SBMPTN 2017 MatIPA 124

Soal yang Akan Dibahas
Garis singgung dari kurva $ y = \frac{x}{2-2x} $ yang melalui titik $ (1,-1) $ adalah ......
A). $ x - 8y - 9 = 0 \, $
B). $ x + 4y + 3 = 0 \, $
C). $ 2x - 8y - 10 = 0 \, $
D). $ x + 8y + 7 = 0 \, $
E). $ x - 4y - 5 = 0 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Bentuk umum persamaan garis adalah $ y = mx + c $
*). Syarat bersinggungan : $ D = 0 $
dengan $ D = b^2 - 4ac $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan persamaan garis singgungnya adalah $ y = mx + c $
*). Substitusi titik $ (1, -1) $ ke garis :
$ \begin{align} y & = mx + c \rightarrow -1 = m.1 + c \rightarrow c = -(m + 1 ) \end{align} $
Sehingga persamaan garis singgungnya adalah $ y = mx -(m+1) $.
*). Substitusi garis ke kurva dan syarat $ D = 0 $ :
$ \begin{align} y & = \frac{x}{2-2x} \\ mx -(m+1) & = \frac{x}{2-2x} \\ [mx -(m+1)](2-2x) & = x \\ 2mx -2(m+1) - 2mx^2 + 2(m+1)x & = x \\ -2mx^2 + (4m + 1)x - 2(m+1) & = 0 \\ a = -2m , b = 4m + 1 , c & = -2(m+1) \\ \text{Syara : } D & = 0 \\ b^2 - 4ac & = 0 \\ (4m+1)^2 - 4.(-2m).-2(m+1) & = 0 \\ 16m^2 + 8m + 1 - 16m^2 - 16m & = 0 \\ -8m & = -1 \\ m & = \frac{1}{8} \end{align} $
*). Substitusi $ m = \frac{1}{8} $ ke garis singgungnya :
$ \begin{align} y & = mx -(m+1) \\ y & = \frac{1}{8}x -(\frac{1}{8}+1) \\ y & = \frac{1}{8}x -\frac{9}{8} \, \, \, \, \, \, \text{(kali 8)} \\ 8y & = x - 9 \\ x & - 8y - 9 = 0 \end{align} $
Jadi, PGS nya adalah $ x - 8y - 9 = 0 . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Pembahasan Garis Singgung SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 124

Soal yang Akan Dibahas
Garis singgung dari kurva $ y = \frac{x}{2-2x} $ yang melalui titik $ (1,-1) $ adalah ......
A). $ x - 8y - 9 = 0 \, $
B). $ x + 4y + 3 = 0 \, $
C). $ 2x - 8y - 10 = 0 \, $
D). $ x + 8y + 7 = 0 \, $
E). $ x - 4y - 5 = 0 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Garis singgung kurva $ y = f(x) $ di titik $(x_1,y_1)$ memiliki gradien $ m = f^\prime (x_1) $ adalah $ y - y_1 = m(x - x_1) $
*). Turunan fungsi bentuk pecahan :
$ y = \frac{U}{V} \rightarrow y^\prime = \frac{U^\prime . V - U . V^\prime }{V^2} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan titik singgungnya adalah $ (x_1,y_1) = (a,b) $
*). Substitusi $ (a,b) $ ke fungsinya :
$ \begin{align} y & = \frac{x}{2-2x} \rightarrow b = \frac{a}{2 - 2a} \rightarrow b = \frac{a}{2(1 - a) } \end{align} $
*). Menentukan turunan dan gradien garis singgungnya :
$ \begin{align} y & = \frac{x}{2-2x} = \frac{U}{V} \\ U & = x \rightarrow U^\prime = 1 \\ V & = 2 - 2x \rightarrow V^\prime = -2 \\ y^\prime & = \frac{U^\prime . V - U . V^\prime }{V^2} \\ & = \frac{1 . (2 - 2x) - x . (-2) }{(2 - 2x)^2} \\ y^\prime & = \frac{2}{(2-2x)^2} = \frac{2}{4(1 - x)^2} = \frac{1}{2(1-x)^2} \\ m & = f^\prime (a) = \frac{1}{2(1-a)^2} = \frac{1}{2(1-a)(1-a)} \end{align} $
*). Menyusun PGS nya :
$ \begin{align} y - y_1 & = m(x - x_1) \\ y - b & = m(x - a) \\ y - \frac{a}{2(1 - a) } & = \frac{1}{2(1-a)(1-a)} (x - a) \end{align} $
*). Substitusi titik $ (1,-1) $ yang dilalui oleh garis singgungnya :
$ \begin{align} y - \frac{a}{2(1 - a) } & = \frac{1}{2(1-a)(1-a)} (x - a) \\ -1 - \frac{a}{2(1 - a) } & = \frac{1}{2(1-a)(1-a)} (1 - a) \\ -1 - \frac{a}{2(1 - a) } & = \frac{1}{2(1-a)} \, \, \, \, \, \, \text{[kali } 2(1-a)] \\ -2(1-a) - a & = 1 \\ -2 + 2a - a & = 1 \\ a & = 3 \end{align} $
*). Substitusi $ a = 3 $ ke PGS nya :
$ \begin{align} y - \frac{a}{2(1 - a) } & = \frac{1}{2(1-a)(1-a)} (x - a) \\ y - \frac{3}{2(1 - 3) } & = \frac{1}{2(1-3)(1-3)} (x - 3) \\ y + \frac{3}{4} & = \frac{1}{8} (x - 3) \, \, \, \, \, \, \text{(kali 8)} \\ 8y + 6 & = x - 3 \\ x - 8y - 9 & = 0 \end{align} $
Jadi, PGS nya adalah $ x - 8y - 9 = 0 . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Pembahasan Asimtot SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 124

Soal yang Akan Dibahas
Ada dua buah nilai konstanta $ C $ yang membuat kurva $ y = \frac{x^3+6x+C}{x^2+x-2} $ tepat memiliki satu asimtot tegak. Hasil penjumlahan kedua nilai $ C $ tersebut adalah ......
A). $ 10 \, $ B). $ 11 \, $ C). $ 12 \, $ D). $ 13 \, $ E). $ 14 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Asimtot tegak $ x = a $ dan $ x = b $ pada kurva $ y = f(x) $ jika $ \displaystyle \lim_{x \to a } f(x) = \infty $ dan $ \displaystyle \lim_{x \to b } f(x) = \infty $ , artinya fungsi $ f(x) $ harus berbentuk pecahan dengan $ x = a $ dan $ x = b $ adalah akar-akar dari penyebutnya.
*). Agar fungsi $ y = \frac{f(x)}{g(x)} $ tepat memiliki satu persamaan asimtot tegak, maka penyebutnya harus tepat hanya memilika satu faktor saja.
*). Teorema fakator : $ (x - a) $ adalah faktor dari $ f(x) $ jika $ f(a) = 0 $.
*). Misalkan bentuk fungsinya $ y = \frac{f(x)}{(x-a)(x-b)} $, agar tersisa satu faktor saja pada penyebutnya, maka pembilang harus memiliki faktor yang sama dengan salah satu faktor dari penyebutnya. Untuk menghilangkan $ (x-a) $ pada penyebut, maka $ f(x) $ harus miliki faktor $ (x - a) $ , sehingga $ f(a) = 0 $. Begitu juga sebaliknya, untuk menghilangkan $ (x-b) $ pada penyebut, maka $ f(x) $ harus miliki faktor $ (x - b) $ , sehingga $ f(b) = 0 $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Fungsinya : $ y = \frac{x^3+6x+C}{x^2+x-2} = \frac{x^3+6x+C}{(x + 2)(x- 1)} $
kita misalkan $ f(x) = x^3+6x+C $
*). Agar fungsinya memiliki hanya satu asimtot tegak, maka ada dua kemungkinan yaitu :
-). Pertama : menghilangkan faktor $ (x + 2) $ , sehingga
Pembilangnya $ f(-2) = 0 \rightarrow (-2)^3+6.(-2)+C = 0 \rightarrow C = 20 $
-). Kedua : menghilangkan faktor $ (x - 1) $ , sehingga
Pembilangnya $ f(1) = 0 \rightarrow 1^3+6.1+C = 0 \rightarrow C = -7 $
*). Menentukan hasil jumlah nilai $ C $ :
Jumlah nilai $ C = 20 + (-7) = 13 $
Jadi, jumlah nilai $ C $ adalah $ 13 . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Pembahasan Limit Takhingga SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 124

Soal yang Akan Dibahas
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, x\left( \sec \frac{1}{\sqrt{x}} - 1 \right) = .... $
A). $ 1 \, $ B). $ \frac{1}{2} \, $ C). $ 0 \, $ D). $ -\frac{1}{2} \, $ E). $ -1 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sifat limit trigonometri :
$ \displaystyle \lim_{y \to 0} \frac{\sin ay}{\sin by} = \frac{a}{b} $.
*). Rumus Trigonometri :
$ \cos A = 1 - 2\sin ^2 \frac{1}{2} A \, $ dan $ \sec A = \frac{1}{\cos A} $
$ 1 - \cos A = 2\sin \frac{1}{2} A \sin \frac{1}{2} A $
Sehingga :
$ 1 - \cos y = 2\sin \frac{1}{2}y \sin \frac{1}{2}y $
*). Bentuk pecahan : $ a.b = \frac{b}{\frac{1}{a}} = \frac{b}{\frac{1}{\sqrt{a}} . \frac{1}{\sqrt{a}} } $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan $ \frac{1}{\sqrt{x}} = y $, sehingga untuk $ x $ mendekati $ \infty $ maka $ y $ mendekati $0$.
*). Menyelesaikan soal :
$\begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, x\left( \sec \frac{1}{\sqrt{x}} - 1 \right) \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, \frac{\left( \sec \frac{1}{\sqrt{x}} - 1 \right)}{\frac{1}{x}} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, \frac{\left( \sec \frac{1}{\sqrt{x}} - 1 \right)}{\frac{1}{\sqrt{x}}.\frac{1}{\sqrt{x}}} \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \frac{\left( \sec y - 1 \right)}{y.y} \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \frac{\left( \frac{1}{\cos y} - 1 \right)}{y.y} \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \frac{\left( \frac{1 - \cos y}{\cos y} \right)}{y.y} \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \frac{\left( 1 - \cos y \right)}{y.y} \times \frac{1}{ \cos y} \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \frac{2\sin \frac{1}{2}y \sin \frac{1}{2}y}{y.y} \times \frac{1}{ \cos y} \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, 2 . \frac{\sin \frac{1}{2}y}{y} .\frac{ \sin \frac{1}{2}y}{y} \times \frac{1}{ \cos y} \\ & = 2. \frac{1}{2} . \frac{1}{2} . \frac{1}{1} = \frac{1}{2} \end{align} $
Jadi, hasil limitnya adalah $ \frac{1}{2} . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Pembahasan Suku Banyak SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 124

Soal yang Akan Dibahas
Sisa pembagian polinom $ p(x) $ oleh $ (x^2 - 4) $ adalah $ (ax + b) $ . Jika sisa pembagian $ p(x) $ oleh $ ( x - 2 ) $ adalah 3 dan pembagian $ p(x) $ oleh $ (x+2) $ adalah $ - 5 $, maka nilai $ 4a + b $ adalah .....
A). $ -4 \, $ B). $ -2 \, $ C). $ 2 \, $ D). $ 4 \, $ E). $ 7 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Pembagian Suku Banyak (Polinom) :
$ f(x) = Q(x).H(x) + S(x) $.
Keterangan :
$ f(x) = \, $ fungsi yang mau dibagi,
$ Q(x) = \, $ pembagi,
$ H(x) = \, $ Hasil bagi,
$ S(x) = \, $ Sisa pembagian.
*). Teorema Sisa :
$ f(x) $ dibagi $ (x-a) $ bersisa $ b $ , artinya $ f(a) = b $ atau juga bisa diartikan sebagai Sisa $ = f(a) $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). $ p(x) $ dibagi oleh $ x - 2 $ bersisa $ 3 $ , artinya $ p(2) = 3 $.
*). $ p(x) $ dibagi oleh $ x + 2 $ bersisa $ -5 $ , artinya $ p(-2) = -5 $.
*). $ p(x) $ dibagi oleh $ x^2 - 4 $ bersisa $ ax + b $, dapat kita tulis :
$ p(x) = (x^2 - 4).H(x) + (ax + b) \, $ .....(i)
*). Substitusi $ x = 2 $ ke pers (i) :
$\begin{align} p(x) & = (x^2 - 4).H(x) + (ax + b) \\ p(2) & = (2^2 - 4).H(2) + (a.2 + b) \\ 3 & = 0.H(2) + (2a + b) \\ 2a + b & = 3 \, \, \, \, \, \, \text{....(ii)} \end{align} $
*). Substitusi $ x = -2 $ ke pers (i) :
$\begin{align} p(x) & = (x^2 - 4).H(x) + (ax + b) \\ p(-2) & = ((-2)^2 - 4).H(-2) + (a.(-2) + b) \\ -5 & = 0.H(-2) + (-2a + b) \\ -2a + b & = -3 \, \, \, \, \, \, \text{....(iii)} \end{align} $
*). Eliminasi pers(ii) dan (iii) :
$ \begin{array}{cc} 2a + b = 3 & \\ -2a + b = -5 & + \\ \hline 2b = -2 & \\ b = -1 & \end{array} $
pers(ii): $ 2a + b = 3 \rightarrow 2a + (-1) = 3 \rightarrow a = 2 $
*). Menentukan nilai $ 4a + b $ :
$ 4a + b = 4.2 + (-1) = 8 - 1 = 7 $
Jadi, nilai $ 4a + b = 7 . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Pembahasan Hiperbola SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 124

Soal yang Akan Dibahas
Suatu hiperbola mempunyai dua asimtot yang saling tegak lurus. Titik potong kedua asimtot tersebut dengan sumbu Y adalah (0,1) dan (0,3). Persamaan hiperbola tersebut adalah .....
A). $ -(x-1)^2 + (y - 2)^2 = 1 \, $
B). $ -(x+1)^2 + (y + 2)^2 = 1 \, $
C). $ (x+1)^2 - (y + 2)^2 = 1 \, $
D). $ \frac{(x-1)^2}{3} - \frac{(y-2)^2}{3} = 1 \, $
E). $ \frac{(x+1)^2}{3} - \frac{(y-2)^2}{3} = 1 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Persamaan hiperbola dan asimtotnya
-). Pertama : $ \frac{(x-p)^2}{a^2} - \frac{(y-q)^2}{b^2} = 1 $
Memiliki persamaan asimtot :
$ y-q = \pm \frac{b}{a} (x-p) $
-). Kedua : $ -\frac{(x-p)^2}{b^2} + \frac{(y-q)^2}{a^2} = 1 $
Memiliki persamaan asimtot :
$ y-q = \pm \frac{a}{b} (x-p) $
*). syarat Dua garis tegak lurus $ m_1 . m_2 = -1 $
*). Gradien garis $ y = cx + d \, $ memiliki gradien $ m = c $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Untuk persamaan asimtot Pertama :
$ y-q = \frac{b}{a} (x-p) \, $ atau $ y-q = - \frac{b}{a} (x-p) $
dengan $ m_1 = \frac{b}{a} \, $ dan $ m_2 = -\frac{b}{a} $
$ m_1.m_2 = -1 \rightarrow \frac{b}{a} . -\frac{b}{a} = -1 \rightarrow a = b $
*). Untuk persamaan asimtot kedua :
$ y-q = \frac{a}{b} (x-p) \, $ atau $ y-q = - \frac{a}{b} (x-p) $
dengan $ m_1 = \frac{a}{b} \, $ dan $ m_2 = -\frac{a}{b} $
$ m_1.m_2 = -1 \rightarrow \frac{a}{b} . -\frac{a}{b} = -1 \rightarrow a = b $
*). Karena $ a = b $ , maka persamaan asimtot yang kita peroleh sama dari kedua bentuk di atas yaitu $ y-q = (x-p) \, $ atau $ y-q = - (x-p) $ , ini artinya bentuk persamaan hiperbolanya juga bisa kedua-duanya berlaku yaitu $ \frac{(x-p)^2}{a^2} - \frac{(y-q)^2}{b^2} = 1 $ atau $ - \frac{(x-p)^2}{b^2} + \frac{(y-q)^2}{a^2} = 1 $.
*). Misalkan $ a^2 = b^2 = k $ , sehingga persamaan hiperbolanya yaitu :
$ \frac{(x-p)^2}{k} - \frac{(y-q)^2}{k} = 1 $ atau $ - \frac{(x-p)^2}{k} + \frac{(y-q)^2}{k} = 1 $.
dengan $ k $ biilangan real.

*). Menentukan nilai $ p $ dan $ q $ berdasarkan titik potong asimtot terhadap sumbu Y.
-). Persamaan asimtotnya : $ y-q = (x-p) \, $ atau $ y-q = - (x-p) $
Kemungkinan Pertama :
-). Substitusi titik (0,1) ke $ y-q = (x-p) $,
$ y-q = (x-p) \rightarrow 1-q = (0-p) \rightarrow q - p = 1 \, $ ....(i)
-). Substitusi titik (0,3) ke $ y-q = -(x-p) $,
$ y-q = -(x-p) \rightarrow 3-q = -(0-p) \rightarrow q + p = 3 \, $ ....(ii)
Dari pers(i) dan (ii) ini kita peroleh nilai $ p = 1 $ dan $ q = 2 $, sehingga persamaan hiperbolanya :
$ \frac{(x-1)^2}{k} - \frac{(y-2)^2}{k} = 1 $ atau $ - \frac{(x-1)^2}{k} + \frac{(y-2)^2}{k} = 1 $.
Kemungkinan Kedua :
-). Substitusi titik (0,1) ke $ y-q = -(x-p) $,
$ y-q = -(x-p) \rightarrow 1-q = -(0-p) \rightarrow q + p = 1 \, $ ....(iii)
-). Substitusi titik (0,3) ke $ y-q = (x-p) $,
$ y-q = (x-p) \rightarrow 3-q = (0-p) \rightarrow q - p = 3 \, $ ....(iv)
Dari pers(iii) dan (iv) ini kita peroleh nilai $ p = -1 $ dan $ q = 2 $, sehingga persamaan hiperbolanya :
$ \frac{(x+1)^2}{k} - \frac{(y-2)^2}{k} = 1 $ atau $ - \frac{(x+1)^2}{k} + \frac{(y-2)^2}{k} = 1 $.

*). Kita peroleh persamaan hiperbola yang memenuhi syarat pada soal yaitu :
$ \frac{(x-1)^2}{k} - \frac{(y-2)^2}{k} = 1 $ atau $ - \frac{(x-1)^2}{k} + \frac{(y-2)^2}{k} = 1 $.
$ \frac{(x+1)^2}{k} - \frac{(y-2)^2}{k} = 1 $ atau $ - \frac{(x+1)^2}{k} + \frac{(y-2)^2}{k} = 1 $.
Dengan $ k $ adalah sembarang bilangan real, misalkan kita ilih $ k = 1 $ dan $ k = 3 $ , maka jawaban yang memenuhi adalah Opsion A, D, dan E.
Jadi, jawaban yang memenuhi adalah A, D, dan E$ . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:
Langganan: Postingan (Atom)