Pembahasan Vektor SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 139

Soal yang Akan Dibahas
Vektor $ \vec{a} $ , $ \vec{u} $ , $ \vec{v} $ , $ \vec{w} $ adalah vektor-vektor di bidang kartesius dengan $ \vec{w} = \vec{u}+\vec{v} $ dan sudut antara $ \vec{u} $ dan $ \vec{a} $ adalah $ 45^\circ$ . Jika $ \sqrt{2}\vec{a} = \vec{w} $ , maka $ \vec{u}.\vec{v} = .... $
A). $ |\vec{a}|(|\vec{a}| - |\vec{u}|) \, $
B). $ |\vec{a}|(|\vec{v}| - |\vec{u}|) \, $
C). $ |\vec{a}|(|\vec{a}| - |\vec{w}|) \, $
D). $ |\vec{u}|(|\vec{a}| - |\vec{u}|) \, $
E). $ |\vec{v}|(|\vec{a}| - |\vec{u}|) \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus-rumus pada vektor :
$ \vec{a}.\vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}| \cos \alpha $
$ \vec{a}.\vec{a} = (\vec{a})^2 = |\vec{a}|^2 $
$ \vec{a}. (\vec{b} - \vec{c}) = \vec{a}.\vec{b} - \vec{a}.\vec{c} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Substitusi $ \vec{w} = \sqrt{2}\vec{a} $ ke $ \vec{w} = \vec{u}+\vec{v} $ :
$\begin{align} \vec{w} & = \vec{u}+\vec{v} \\ \sqrt{2}\vec{a} & = \vec{u}+\vec{v} \\ \vec{v} & = \sqrt{2}\vec{a} - \vec{u} \end{align} $
*). Menentukan $ \vec{u}.\vec{v} $ :
$\begin{align} \vec{u}.\vec{v} & = \vec{u}.(\sqrt{2}\vec{a} - \vec{u} ) \\ & = \sqrt{2}\vec{a}.\vec{u} - \vec{u}.\vec{u} \\ & = \sqrt{2}|\vec{a}||\vec{u}| \cos 45^\circ - |\vec{u}|^2 \\ & = \sqrt{2}|\vec{a}||\vec{u}| . \frac{1}{2}\sqrt{2} - |\vec{u}||\vec{u}| \\ & = |\vec{a}||\vec{u}| - |\vec{u}||\vec{u}| \\ & = |\vec{u}| (|\vec{a}| - |\vec{u}| ) \end{align} $
Jadi, kita peroleh $ \vec{u}.\vec{v} = |\vec{u}| (|\vec{a}| - |\vec{u}| ) . \, \heartsuit $

Pembahasan Pertidaksamaan SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 139

Soal yang Akan Dibahas
Banyak bilangan bulat positif $ x $ yang memenuhi pertidaksamaan $ \frac{x - |2-x|}{x^2-3x-10} \leq 0 $ adalah .....
A). $ 2 \, $ B). $ 3 \, $ C). $ 4 \, $ D). $ 5 \, $ E). $ 6 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Langkah-langkah menyelesaikan pertidaksamaan :
1). Nolkan salah satu ruas,
2). Menentukan pembuat nol (akar-akarnya),
3). Buat garis bilangan dan tentukan tanda ($+$ atau $-$),
4). Arsir daerah yang diinginkan :
Jika $ > 0 $ , maka daerah $+$ ,
Jika $ < 0 $ , maka daerah $-$ .
*). Syarat bentuk pecahan yaitu akar-akar penyebut selalu tidak ikut karena penyebut tidak boleh bernilai $ 0 $.
*). Definisi nilai mutlak :
$ |f(x)| = \left\{ \begin{array}{cc} f(x) & , \text{untuk } f(x) \geq 0 \\ -f(x) & , \text{untuk } f(x) < 0 \end{array} \right. $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Definisi bentuk mutlak :
$ |2 - x| = \left\{ \begin{array}{ccc} 2 - x & , \text{untuk } 2 - x \geq 0 & \rightarrow x \leq 2 \\ -(2 - x) & , \text{untuk } 2 - x < 0 & \rightarrow x > 2 \end{array} \right. $
Artinya bentuk mutlak kita bagi menjadi dua berdasarkan batas $ x $ yaitu untuk $ x \leq 2 $ dan untuk $ x > 2 $.
*). Untuk $ x \leq 2 $ , maka $ |2 - x| = 2 - x $ :
$\begin{align} \text{soal : } \frac{x - |2-x|}{x^2-3x-10} & \leq 0 \\ \frac{x - ( 2 - x)}{x^2-3x-10} & \leq 0 \\ \frac{2x - 2}{(x +2)(x - 5) } & \leq 0 \end{align} $
Akar-akarnya :
$ 2x - 2 = 0 \rightarrow x = 1 $
$ (x +2)(x - 5) = 0 \rightarrow x = -2 \, $ dan $ x = 5 $
Garis bilangannya :
 

Karena syaratnya $ x \leq 2 $ , maka
HP1 $ = \{ x \leq 2 \} \cap \{ x < -2 \vee 1 \leq x < 5 \} = \{ x < -2 \vee 1 \leq x \leq 2 \} $
*). Untuk $ x > 2 $ , maka $ |2 - x| = -(2 - x) = x - 2 $ :
$\begin{align} \text{soal : } \frac{x - |2-x|}{x^2-3x-10} & \leq 0 \\ \frac{x - ( x - 2)}{x^2-3x-10} & \leq 0 \\ \frac{2}{(x +2)(x - 5) } & \leq 0 \end{align} $
Akar-akarnya :
$ (x +2)(x - 5) = 0 \rightarrow x = -2 \, $ dan $ x = 5 $
Garis bilangannya :
 

Karena syaratnya $ x > 2 $ , maka
HP2 $ = \{ x > 2 \} \cap \{ -2 < x 5 \} = \{ 2 < x < 5 \} $
*). Solusi totalnya :
$\begin{align} HP & = HP1 \cup HP2 \\ & = \{ x < -2 \vee 1 \leq x \leq 2 \} \cup \{ 2 < x < 5 \} \\ & = \{ x < -2 \vee 1 \leq x < 5 \} \end{align} $
Banyak bilangan bulat positif : $ x = \{ 1, 2, 3, 4 \} $.
Jadi, penyelesaiannya ada 4 bilangan bulat positif $ . \, \heartsuit $

Pembahasan Sistem Persamaan SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 139

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ x , y $ adalah solusi sistem
$ \left\{ \begin{array}{c} \frac{x}{y+1} + \frac{3y}{x+1} = 2 \\ -\frac{3x}{y+1} + \frac{6y}{x+1} = - 1 \\ \end{array} \right. $
maka $ x + 2y = .... $
A). $ \frac{5}{3} \, $ B). $ \frac{7}{3} \, $ C). $ 3 \, $ D). $ 4 \, $ E). $ 5 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Untuk menyelesaikan suatu sistem persamaan dapat dilakukan dengan metode eliminasi dan substitusi.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan soal :
Misalkan : $ p = \frac{x}{y + 1} $ dan $ q = \frac{y}{x + 1} $
Sistem persamaan pada soal menjadi :
$ \left\{ \begin{array}{c} p + 3q = 2 \\ -3p+6q = -1 \\ \end{array} \right. $
*). Eliminasi pers(i) dan pers(ii) :
$ \begin{array}{c|c|cc} p + 3q = 2 & \times 2 & 2p + 6q = 4 & \\ -3p+6q = -1 & \times 1 & -3p+6q = -1 & - \\ \hline & & 5p = 5 & \\ & & p = 1 & \\ \end{array} $
Pers(i): $ p + 3q = 2 \rightarrow 1 + 3q = 2 \rightarrow q = \frac{1}{3} $
Kita peroleh :
$ p = 1 \rightarrow \frac{x}{y + 1} = 1 \rightarrow x - y = 1 $ ....(iii)
$ q = \frac{1}{3} \rightarrow \frac{y}{x + 1} = \frac{1}{3} \rightarrow -x + 3y = 1 $ ....(iv)
*). Eliminasi pers(iii) dan (iv) :
$\begin{array}{cc} x - y = 1 & \\ -x + 3y = 1 & + \\ \hline 2y = 2 & \\ y = 1 & \end{array} $
Pers(iii): $ x - y = 1 \rightarrow x - 1 = 1 \rightarrow x = 2 $
*). Menentukan nilai $ x + 2y $ :
$\begin{align} x + 2y & = 2 + 2.1 = 2 + 2 = 4 \end{align} $
Jadi, nilai $ x + 2y = 4 . \, \heartsuit $

Soal dan Pembahasan SBMPTN 2017 Matematika IPA Kode 139


Nomor 1
Jika $ x , y $ adalah solusi sistem
$ \left\{ \begin{array}{c} \frac{x}{y+1} + \frac{3y}{x+1} = 2 \\ -\frac{3x}{y+1} + \frac{6y}{x+1} = - 1 \\ \end{array} \right. $
maka $ x + 2y = .... $
A). $ \frac{5}{3} \, $ B). $ \frac{7}{3} \, $ C). $ 3 \, $ D). $ 4 \, $ E). $ 5 $
Nomor 2
Seorang pelajar berencana untuk menabung di koperasi yang keuntungannya dihitung setiap semester. Apabila jumlah tabungan menjadi dua kali lipat dalam 5 tahun, maka besar tingkat suku bunga per tahun adalah ....
A). $ 2(\sqrt[10]{2}-1) \, $ B). $ 2(\sqrt[5]{2}-1) \, $
C). $2(\sqrt{2}) \, $ D). $ 2(\sqrt[5]{2}) \, $ E). $ 2(\sqrt[10]{2} ) $
Nomor 3
Banyak bilangan bulat positif $ x $ yang memenuhi pertidaksamaan $ \frac{x - |2-x|}{x^2-3x-10} \leq 0 $ adalah .....
A). $ 2 \, $ B). $ 3 \, $ C). $ 4 \, $ D). $ 5 \, $ E). $ 6 $
Nomor 4
Vektor $ \vec{a} $ , $ \vec{u} $ , $ \vec{v} $ , $ \vec{w} $ adalah vektor-vektor di bidang kartesius dengan $ \vec{w} = \vec{u}+\vec{v} $ dan sudut antara $ \vec{u} $ dan $ \vec{a} $ adalah $ 45^\circ$ . Jika $ \sqrt{2}\vec{a} = \vec{w} $ , maka $ \vec{u}.\vec{v} = .... $
A). $ |\vec{a}|(|\vec{a}| - |\vec{u}|) \, $
B). $ |\vec{a}|(|\vec{v}| - |\vec{u}|) \, $
C). $ |\vec{a}|(|\vec{a}| - |\vec{w}|) \, $
D). $ |\vec{u}|(|\vec{a}| - |\vec{u}|) \, $
E). $ |\vec{v}|(|\vec{a}| - |\vec{u}|) \, $
Nomor 5
Jika $ \frac{2\tan x}{1 - \tan ^2 x} - 5 = 0 $, dengan $ 0 < x <\frac{\pi}{2} $, maka $ \cos ^2 x - \sin ^2 x = .... $
A). $ \frac{1}{\sqrt{26}} \, $ B). $ \frac{2}{\sqrt{26}} \, $ C). $ \frac{3}{\sqrt{26}} \, $ D). $ \frac{4}{\sqrt{26}} \, $ E). $ \frac{5}{\sqrt{26}} \, $

Nomor 6
Jarak antara titik potong kedua asimtot dari hiperbola $ -\frac{x^2-2nx+n^2}{4}+\frac{y^2-4my+4m^2}{9} = 1 $ pada sumbu X adalah .....
A). $ \frac{2n}{3} \, $ B). $ \frac{4n}{3} \, $ C). $ \frac{2m}{3} \, $ D). $ \frac{4m}{3} \, $ E). $ \frac{8m}{3} $
Nomor 7
Jika $ x^3 + 4x^2 + b = (x-3)Q(x) + 10b $, maka $ Q(x) $ adalah ......
A). $ x^2 - 7x - 21 \, $
B). $ x^2 - 14x + 21 \, $
C). $ x^2 + 7x - 21 \, $
D). $ x^2 + 7x + 21 \, $
E). $ x^2 + 14x + 21 $
Nomor 8
Diketahui suatu lingkaran kecil dengan radius $ 3\sqrt{2} $ melaui pusat suatu lingkaran besar yang mempunyai radius 6. Ruas garis yang menghubungkan dua titik potong lingkaran merupakan diameter dari lingkaran kecil, seperti pada gambar. Luas daerah irisan kedua lingkaran adalah ....
A). $ 18\pi + 18 \, $ B). $ 18\pi - 18 \, $
C). $ 14\pi + 14 \, $ D). $ 14\pi - 15 \, $
E). $ 10\pi + 10 $
Nomor 9
Jika $ \int_{-4}^4 f(x) (\sin x + 1) dx = 8 $ , dengan $ f(x) $ fungsi genap dan $ \int_{-2}^4 f(x) dx = 4 $ , maka $ \int_{-2}^0 f(x) dx = .... $
A). $ 0 \, $ B). $ 1 \, $ C). $ 2 \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 4 $
Nomor 10
$ \displaystyle \lim_{x \to -\frac{\pi}{2}} \, \frac{\left(x+\frac{\pi}{2}\right) (1-\sin x)}{\tan 2x} = .... $
A). $ \frac{1}{2} \, $ B). $ 1 \, $ C). $ \frac{3}{2} \, $ D). $ 2 \, $ E). $ \frac{5}{2} $

Nomor 11
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, \frac{x \cot \left( \frac{5}{x+1} \right)}{1-x^2} = .... $
A). $ -1 \, $ B). $ -\frac{1}{2} \, $ C). $ -\frac{1}{3} \, $ D). $ -\frac{1}{4} \, $ E). $ -\frac{1}{5} $
Nomor 12
Jika kurva $ y = \frac{x^3 - 3x +2}{\frac{1}{a}x(x^2-ax-6)} $ mempunyai dua asimtot tegak, maka asimtot datar dari kurva tersebut adalah ....
A). $ y = 1 \, $ B). $ y = \frac{1}{2} \, $
C). $ y=-\frac{1}{2} \, $ D). $ y = -1 \, $
E). $ y = -2 $
Nomor 13
Misalkan $ f(x) = \sin (\cos ^2 x ) $ , maka $ f^\prime (x) = .... $
A). $ -2\sin x . \cos ( \cos ^2 x) \, $
B). $ -2\sin 2x . \cos ( \cos ^2 x) \, $
C). $ -\sin x . \cos ( \cos ^2 x) \, $
D). $ -\sin 2x . \cos ( \cos ^2 x) \, $
E). $ -\sin ^2 x . \cos ( \cos ^2 x) $
Nomor 14
Misalkan $ y_1 = -3x + 2 $ dan $ y_2 = 2x - 1 $ berturut-turut adalah garis singgung dari $ f(x) $ dan $ g(x) $ di $ x = 4 $. Jika $ F(x) = f(x)g(x) $ , maka $ F^\prime (4) = .... $
A). $ -6 \, $ B). $ -20 \, $ C). $ -21 \, $ D). $ -41 \, $ E). $ -50 \, $
Nomor 15
Di dalam kotak I terdapat 12 bola putih dan 3 bola merah. Di dalam kotak II terdapat 4 bola putih dan 4 bola merah. Jika dari kotak I dan kotak II masing-masing diambil 2 bola satu per satu dengan pengembalia, maka peluang yang terambil adalah 1 bola merah adalah .....
A). $ 0,04 \, $ B). $ 0,10 \, $ C). $ 0,16 \, $ D). $ 0,32 \, $ E). $ 0,40 $