Pembahasan Peluang Simak UI 2009 Matematika Dasar kode 921

Soal yang Akan Dibahas
Tersedia 15 kunci berbeda dan hanya terdapat 1 kunci yang dapat digunakan untuk membuka sebuah pintu. Kunci diambil satu per satu tanpa pengembalian. Peluang kunci yang terambil dapat digunakan untuk membuka pintu pada pengambilan ke tiga adalah .....
A). $ \frac{1}{15} \, $ B). $ \frac{1}{15}.\frac{1}{14}.\frac{1}{13} \, $ C). $ \left( \frac{1}{15} \right)^3 \, $
D). $ \left( \frac{14}{15} \right)^2 . \frac{1}{15} \, $ E). $ \frac{13}{15} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Konsep peluang bersyarat dengan pengambilan tanpa pengembalian :
-). Misal $ P(K_1) = \, $ peluang pengambilan pertama,
-). Misal $ P(K_2) = \, $ peluang pengambilan kedua,
-). Misal $ P(K_3) = \, $ peluang pengambilan ketiga,
-). Peluang total :
$ P(K_1 \cap K_2 \cap K_3) = P(K_1) . P(K_2). P(K_3) $

$\clubsuit $ Pembahasan 
*). Terdapat 15 kunci dimana 1 kunci cocok dan 14 kunci lagi tidak cocok. Cocok di sini maksudnya adalah bisa digunakan untuk membuka pintunya.
*). Peluang agar kunci ketiga cocok dapat kita hitung :
Sebelum dilakukan pengambilan, tersedia 1 cocok dan 14 tidak cocok.
-). Peluang pengambilan pertama kunci tidak cocok : $ P(K_1) = \frac{14}{15} $
Setelah pengambilan pertama, tersisa 1 cocok dan 13 tidak cocok.
-). Peluang pengambilan kedua kunci tidak cocok : $ P(K_2) = \frac{13}{14} $
Setelah pengambilan kedua, tersisa 1 cocok dan 12 tidak cocok.
-). Peluang pengambilan ketiga kunci cocok : $ P(K_3) = \frac{1}{13} $
-). Peluan totalnya :
$ \begin{align} P(K_1 \cap K_2 \cap K_3) & = P(K_1) . P(K_2). P(K_3) \\ & = \frac{14}{15}. \frac{13}{14}. \frac{1}{13} \\ & = \frac{1}{15} \end{align} $
Jadi, peluangnya adalah $ \frac{1}{15} . \, \heartsuit $

Pembahasan Lingkaran Luar Simak UI 2009 Matematika Dasar kode 921

Soal yang Akan Dibahas
Jika pada segitiga ABC, besar sudut ABC $ = 60^\circ $ dengan panjang sisi $ AC = 8 \, $ cm , maka luas lingkaran luar segitiga ABC sama dengan ...... cm$^2$
A). $ 64\pi \, $ B). $ 32\pi \, $ C). $ \frac{196}{3}\pi \, $ D). $ \frac{64}{3}\pi \, $ E). $ \frac{32}{3}\pi $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Perhatikan gambar lingkaran luar segitiga berikut.
dengan $ R = \, $ jari-jari lingkaran luar.
$ AB = c , AC = b , \, $ dan $ BC = a $
A, B , dan C adalah sudut-sudut pada segitiga.
Berlaku persamaan :
$ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R $
Sehingga kita peroleh :
$ \frac{b}{\sin B} = 2R \rightarrow R = \frac{b}{2\sin B } $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ilustrasi gambar sesuai dengan soal : 
 

*). Menentukan panjang jari-jari lingkaran luar $(R)$ :
$ \begin{align} R & = \frac{b}{2\sin B } \\ & = \frac{8}{2\sin 60^\circ } \\ & = \frac{8}{2. \frac{1}{2}\sqrt{3} } = \frac{8}{ \sqrt{3} } \end{align} $
*). Menentukan luas lingkarannya :
$ \begin{align} \text{Luas } & = \pi R^2 = \pi . \left( \frac{8}{ \sqrt{3} } \right)^2 = \frac{64}{3}\pi \end{align} $
Jadi, luas lingkarannya adalah $ \frac{64}{3}\pi . \, \heartsuit $

Pembahasan Sistem Persamaan Simak UI 2009 Matematika Dasar kode 921

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui jumlah siswa suatu kelas antara 15 sampai dengan 40. $ \frac{1}{4} $ dari jumlah siswa tersebut tahu cara bermain catur. Pada hari Rabu, 7 siswa absen karena harus berpartisipasi dalam lomba Matematika. Pada hari itu, $ \frac{1}{5} $ siswa yang masuk tahu cara bermain catur. Jumlah siswa yang masuk pada hari Rabu dan tahu cara bermain catur adalah .....
A). 3 B). 4 C). 5 D). 8 E). 10

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Misalkan terdapat bilangan asli $ n $.
bentuk $ \frac{n}{m} $ akan bulat positif jika $ n $ adalah kelipatan dari $ m $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan ada sebanyak $ n $ siswa dengan $ 15 < n < 40 $ dan $ n $ adalah bilangan asli.
*). $ \frac{1}{4} n $ bisa main catur. Karena $ \frac{1}{4}n $ menyatakan banyaknya siswa, maka $ \frac{1}{4}n $ haruslah bulat positif yang tercapai untuk $ n $ kelipatan dari 4.
*). Hari Rabu, 7 siswa absen, sehingga yang hadir $ (n-7) $ siswa. $ \frac{1}{5}(n-7) $ bisa main catur. Karena $ \frac{1}{5}(n-7) $ menyatakan banyak siswa juga, maka $ \frac{1}{5}(n-7) $ hasilnya harus bulat positif yang tercapai untuk $ (n-7) $ kelipatan dari 5.
*). $ n $ kelipatan 4 dan $ (n-7) $ kelipatan 5 pada interval $ 15 < n < 40 $ hanya tercapai untuk $ n = 32 $.
$ n = 32 \rightarrow n = 4 \times 8 $ (benar kelipatan 4)
$ n = 32 \rightarrow n - 7 = 25 = 5 \times 5 $ (benar kelipatan 5)
*). Banyak siswa bisa main catur yang hadir hari Rabu :
$ \frac{1}{5}(n-7) = \frac{1}{5}(32-7) = \frac{1}{5} \times 25 = 5 \, $ siswa.
Jadi, ada 5 siswa bisa main catur yang hadir hari Rabu $ . \, \heartsuit $

Pembahasan Barisan Simak UI 2009 Matematika Dasar kode 921

Soal yang Akan Dibahas
Jika bilangan ganjil dikelompokkan seperti berikut :
{1}, {3, 5}, {7, 9, 11}, {13, 15, 17, 19}, .....,
maka suku tengah dari kelompok ke-17 adalah ......
A). $ 9 \, $ B). $ 81 \, $ C). $ 136 \, $ D). $ 145 \, $ E). $ 289 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus suku ke-$n$ barisan aritmetika : $ U_n = a + (n-1)b $.
*). Rumus jumlah $ n $ suku pertama :
$ S_n = \frac{n}{2} (U_1 + U_n) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Perhatikan kelompok barisan berikut :
{1}, {3, 5}, {7, 9, 11}, {13, 15, 17, 19}, ...... (barisan 1).
*). Jika tanda kurung kurawal kita hilangkan, maka akan terbentuk barisan aritmetika bilangan ganjail yaitu :
1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, .........(barisan 2).
*). Untuk menentukan suku tengah dari kelompok ke-17, sama saja dengan menentukan suku kesekian dari barisan 2 di atas.
*). Menentukan suku kesekian barisan 2 yang akan sama dengan suku tengah dari kelompok ke-17 :
-). dari kelompok ke-1 sampai ke-16 ada sekian bilangan :
$ S_{16} = \frac{16}{2}(U_1 + U_{16}) = 8 (1 + 16) = 136 \, $ bilangan.
-). kelompok ke-17 ada 17 bilangan, suku tengahnya ada pada bilangan ke :
$ \frac{1 + 17}{2} = \frac{18}{2} = 9 $ .
-). Suku tengah kelompok ke-17 terletak pada bilangan ke :
$ 136 + 9 = 145 $
-). Artinya suku tengah dari kelompok ke-17 barisan 1 sama saja dengan suku ke-145 pada barisan 2 :
$ U_{145} = a + 144b = 1 + 144 \times 2 = 1 + 288 = 289 $
Jadi, suku tengah dari kelompok ke-17 adalah 289 $ . \, \heartsuit $

Pembahasan Persamaan Garis Simak UI 2009 Matematika Dasar kode 921

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui $ P = \left( \begin{matrix} 2 & 1 \\ 3 & 3 \end{matrix}\right) $ , $ Q = \left( \begin{matrix} -1 & -2 \\ 1 & 0 \end{matrix}\right) $ , dan determinan dari matriks $ PQ $ adalah $ k $. Jika garis $ 2x - y = 4 $ dan $ 3x - 2y = 5 $ berpotongan di titik A, maka persamaan garis yang melalui A dengan gradien sebesar $ k $ adalah ....
A). $ 6x + y - 20 = 0 \, $ B). $ 2x - 3y - 6 = 0 \, $
C). $ 3x - 2y - 4 = 0 \, $ D). $ x - 6y + 16 = 0 \, $
E). $ 6x - y - 16 = 0 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Persamaan garis yang melalui titik $ (x_1,y_1) $ dan gradien $ m $ :
$ y - y_1 = m(x-x_1) $
*). Determinan matriks :
$ A = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}\right) \rightarrow |A| = ad - bc $
*). Sifat determinan : $ |A.B| = |A|.|B| $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan nilai $ k $ (sebagai gradien) :
$ k = |PQ| \rightarrow k = |P|.|Q| \rightarrow k = (6 - 3) . (0 - (-2)) = 6 $
*). Menentukan titik A dengan eliminasi kedua persamaan :
$ \begin{array}{c|c|cc} 2x - y = 4 & \times 2 & 4x - 2y = 8 & \\ 3x - 2y = 5 & \times 1 & 3x - 2y = 5 & - \\ \hline & & x = 3 & \end{array} $
Pers(i) : $ 2x - y = 4 \rightarrow 2.3 - y = 4 \rightarrow y = 2 $
Sehingga titik $ A(3,2) $
*). Menyusun persamaan garis melalui $ (x_1,y_1) = (3,2) $ dan $ m = 6 $ :
$ \begin{align} y - y_1 & = m (x - x_1) \\ y - 2 & = 6(x - 3) \\ y - 2 & = 6x - 18 \\ 6x - y & - 16 = 0 \end{align} $
Jadi, persamaan garisnya adalah $ 6x - y - 16 = 0 . \, \heartsuit $

Pembahasan Turunan Simak UI 2009 Matematika Dasar kode 921

Soal yang Akan Dibahas
Luas persegi panjang terbesar yang dapat dibuat dalam daerah yang dibatasi kurva $ y = \frac{1}{2}x^2 $ dan $ y = 6 $ adalah ..... satuan luas
A). $ 20 \, $ B). $ 16 \, $ C). $ 8\sqrt{2} \, $ D). $ 8 \, $ E). $ 4\sqrt{2} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Penggunaan turunan :
Fungsi $ y = f(x) $ mencapai maksimum atau minimum pada saat $ f^\prime (x) = 0 $ .
*). Luas persegi panjang = panjang $ \times $ lebar.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Perhatikan ilustrasi grafik dan persegi panjang ABCD berikut ini :

Misalkan titik $ A(a,b) $ , substitusi ke fungsi $ y = \frac{1}{2}x^2 $
$ y = \frac{1}{2}x^2 \rightarrow b = \frac{1}{2}a^2 $
Sehingga panjang dan lebar persegi panjang ABCD Yaitu :
Panjang $ = DA = 2a \, $ dengan $ a > 0 $ karena panjang selalu positif.
Lebar $ = 6 - b = 6 - \frac{1}{2}a^2 $
*). Luas persegi panjang ABCD :
$ \begin{align} \text{Luas } & = \text{ panjang } \times \text{ lebar } \\ L & = 2a. (6 - \frac{1}{2}a^2 ) \\ L & = 12a - a^3 \, \, \, \, \, \, \, \text{(Turunkan)} \\ L^\prime & = 12 - 3a^2 \end{align} $
*). Syarat nilai maksimum : turunan pertama = 0
$ \begin{align} L^\prime & = 0 \\ 12 - 3a^2 & = 0 \\ 3a^2 & = 12 \\ a^2 & = 4 \\ a & = 2 \end{align} $
*). Menentukan luas persegi panjang ABCD dengan $ a = 2 $ :
$ \begin{align} L & = 12a - a^3 \\ & = 12.2 - 2^3 \\ & = 24 - 8 = 16 \end{align} $
Jadi, luas persegi panjang terbesar adalah 16 satuan luas $ . \, \heartsuit $

Pembahasan Invers Fungsi Simak UI 2009 Matematika Dasar kode 921

Soal yang Akan Dibahas
$ f^{-1} $ dan $ g^{-1} $ berturut-turut menyatakan invers dari fungsi $ f $ dan $ g $. Jika $ (f^{-1} \circ g^{-1} )(x) = 2x - 4 $ dan $ g(x) = \frac{x-3}{2x+1} $ , $ x \neq -\frac{1}{2} $ , maka nilai $ f(2) $ sama dengan ......
A). $ -\frac{5}{4} \, $ B). $ -\frac{6}{5} \, $ C). $ -\frac{4}{5} \, $ D). $ -\frac{6}{7} \, $ E). $ 0 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Komposisi fungsi :
$ (g \circ f)(x) = g(f(x)) $
(fungsi kanan masuk ke fungsi kiri)
*). Sifat invers komposisi fungsi :
(i). $ (g \circ f)^{-1}(x) = (f^{-1} \circ g^{-1})(x) $
(ii). $ (f^{-1}(x))^{-1} = f(x) $
*). Definisi invers fungsi :
$ y = f(x) \rightarrow x = f^{-1}(y) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). invers dari $ y = 2x - 4 $ :
$ y = 2x - 4 \rightarrow x = \frac{y + 4}{2} $
Sehingga invernya $ y^{-1} = \frac{x + 4}{2} $
*). Mengubah fungsi komposisinya :
$ \begin{align} (f^{-1} \circ g^{-1} )(x) & = 2x - 4 \\ (g \circ f)^{-1}(x) & = 2x - 4 \, \, \, \, \, \, \, \, \text{(inverskan kedua ruas)} \\ (g \circ f)(x) & = \frac{x + 4}{2} \\ g(f(x)) & = \frac{x + 4}{2} \\ \frac{f(x)-3}{2f(x)+1} & = \frac{x + 4}{2} \, \, \, \, \, \, \, \, \text{(substitusi } x = 2 ) \\ \frac{f(2)-3}{2f(2)+1} & = \frac{2 + 4}{2} \, \, \, \, \, \, \, \, \text{(misalkan } p = f(2) ) \\ \frac{p-3}{2p+1} & = 3 \\ p-3 & = 3(2p+1) \\ p-3 & = 6p+ 3 \\ -5p & = 6 \\ p & = -\frac{6}{5} \end{align} $
Sehingga nilai $ f(2) = p = -\frac{6}{5} $
Jadi, nilai $ f(2) = -\frac{6}{5} . \, \heartsuit $

Pembahasan Trigonometri Simak UI 2009 Matematika Dasar kode 921

Soal yang Akan Dibahas
Misalkan $ x_1 $ bilangan non negatif terkecil dan $ x_2 $ bilangan non positif terbesar yang membuat fungsi $ y = 4 - \sin \left( x - \frac{\pi}{4} \right) $ maksimum, maka nilai $ x_1 + x_2 $ adalah .......
A). $ -\frac{\pi}{4} \, $ B). $ \frac{3\pi}{4} \, $ C). $ \frac{3\pi}{2} \, $ D). $ \frac{7\pi}{4} \, $ E). $ \frac{9\pi}{4} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Persamaan trigonometri $ \sin f(x) = \sin \theta $ memiliki solusi :
(i). $ f(x) = \theta + k.2\pi \, $ dan
(ii). $ f(x) = (\pi - \theta ) + k.2\pi $
dengan $ k $ bilangan bulat.
*). Fungsi $ y = \sin f(x) $ memiliki nilai berkisar $ -1 \leq \sin f(x) \leq 1 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Fungsi $ y = 4 - \sin \left( x - \frac{\pi}{4} \right) $ mencapai maksimum pada saat $ \sin \left( x - \frac{\pi}{4} \right) = -1 $. Sehingga kita harus menentukan nilai $ x $ yang memenuhi $ \sin \left( x - \frac{\pi}{4} \right) = -1 $ :
*). Menentukan nilai $ x $ :
$ \begin{align} \sin \left( x - \frac{\pi}{4} \right) & = -1 \\ \sin \left( x - \frac{\pi}{4} \right) & = \sin \frac{3\pi}{2} \end{align} $
artinya $ f(x) = x - \frac{\pi}{4} $ dan $ \theta = \frac{3\pi}{2} $
Sehingga solusinya :
(i). $ f(x) = \theta + k.2\pi $ :
$ \begin{align} f(x) & = \theta + k.2\pi \\ x - \frac{\pi}{4} & = \frac{3\pi}{2} + k.2\pi \\ x & = \frac{3\pi}{2} + \frac{\pi}{4} + k.2\pi \\ x & = \frac{7\pi}{4} + k.2\pi \\ k = -2 \rightarrow x & = \frac{7\pi}{4} + -4\pi = \frac{-9\pi}{4} \\ k = -1 \rightarrow x & = \frac{7\pi}{4} + -2\pi = \frac{-\pi}{4} \\ k = 0 \rightarrow x & = \frac{7\pi}{4} + 0 = \frac{7\pi}{4} \\ k = 1 \rightarrow x & = \frac{7\pi}{4} + 2\pi = \frac{15\pi}{4} \end{align} $
(ii). $ f(x) = (\pi - \theta) + k.2\pi $ :
$ \begin{align} f(x) & = (\pi - \theta) + k.2\pi \\ x - \frac{\pi}{4} & = (\pi - \frac{3\pi}{2} ) + k.2\pi \\ x & = \pi - \frac{3\pi}{2} + \frac{\pi}{4} + k.2\pi \\ x & = \frac{-\pi}{4} + k.2\pi \\ k = -2 \rightarrow x & = \frac{-\pi}{4} + -4\pi = \frac{-17\pi}{4} \\ k = -1 \rightarrow x & = \frac{-\pi}{4} + -2\pi = \frac{-9\pi}{4} \\ k = 0 \rightarrow x & = \frac{-\pi}{4} + 0 = \frac{-\pi}{4} \\ k = 1 \rightarrow x & = \frac{-\pi}{4} + 2\pi = \frac{7\pi}{4} \end{align} $
Sehingga nilai $ x $ yang memenuhi adalah :
$ \{...., \frac{-17\pi}{4}, \frac{-9\pi}{4} , \frac{-\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}, \frac{15\pi}{4}, .... \} $
*). Pada soal diketahui :
-). $ x_1 $ bilangan non negatif terkecil = bilangan positif terkecil yaitu $ x_1 = \frac{7\pi}{4} $
-). $ x_2 $ bilangan non positif terbesar = bilangan negatif terbesar yaitu $ x_2 = \frac{-\pi}{4} $
Sehingga nilai $ x_1 + x_2 = \frac{7\pi}{4} + \frac{-\pi}{4} = \frac{6\pi}{4} = \frac{3\pi}{2} $ Jadi, nilai $ x_1 + x_2 = \frac{3\pi}{2} . \, \heartsuit $