Pembahasan Soal SPMB Matematika IPA tahun 2004

Nomor 1

Jika

$x$ dan

$y$ memenuhi pertaksamaan

$y^2 - 2 < x$ dan persamaan

$2y - x + 1 = 0$ , maka

$x+y$ memenuhi pertaksamaan ....

$\clubsuit \,$ Substitusi pers(i) ke perts(ii)

$2y - x + 1 = 0 \rightarrow x = 2y + 1 \,$ ....pers(i)

$y^2 - 2 < x \rightarrow y^2 - 2 - x < 0$

$\begin{align} \text{perts(ii) : } \, y^2 - 2 - x & < 0 \\ y^2 - 2 - (2y + 1) & < 0 \\ y^2 - 2y - 3 & < 0 \\ (y+1)(y-3) & < 0 \\ y = -1 \vee y & = 3 \end{align}$

sehingga nilai

$y$ :

$\, -1 < y < 3$

$\clubsuit \,$ Substitusi nilai

$y$ ke pers(i)

$y = 3 \rightarrow x = 2y + 1 = 2.3+1 = 7$

$y = -1 \rightarrow x = 2y + 1 = 2.(-1)+1 = -1$
sehingga nilai

$x$ :

$\, -1 < x < 7$
Jumlah nilai

$x$ dan

$y \,$ , diperoleh :

$\begin{array}{cc} -1 < y < 3 & \\ -1 < x < 7 & + \\ \hline -2 < x + y < 10 & \end{array}$
Jadi, diperoleh

$-2 < x + y < 10 . \heartsuit$

Nomor 2

Jika salah satu akar persamaan

$\frac{x}{6} - \frac{k}{x} = \frac{1}{2} \,$ adalah -6, maka akar yang lain adalah ....

$\spadesuit \,$ Menyederhanakan soal

$\begin{align} \frac{x}{6} - \frac{k}{x} & = \frac{1}{2} \, \, \text{ ( kali } 6x ) \\ x^2 - 6k & = 3x \\ x^2 - 3x - 6k & = 0 \\ a = 1, \, b = -3, \, c & = -6k \end{align}$

$\spadesuit \,$ Salah satu akarnya -6 , artinya

$x_1 = -6$

$\spadesuit \,$ Menentukan nilai

$k$ dengan substitusi

$x_1 = -6$

$\begin{align} x_1 = -6 \rightarrow x^2 - 3x - 6k & = 0 \\ (-6)^2 - 3.(-6) - 6k & = 0 \\ 36 + 18 - 6k & = 0 \\ k & = 9 \end{align}$
PK :

$x^2 - 3x - 6.9 = 0 \rightarrow x^2 - 3x - 54 = 0$

$\spadesuit \,$ Menentukan akar-akar dengan pemfaktoran

$\begin{align} x^2 - 3x - 54 & = 0 \\ (x + 6)(x-9) & = 0 \\ x= -6 \vee x & = 9 \end{align}$
Jadi, akar yang lainnya adalah 9.

$\heartsuit$

Cara II

$\spadesuit \,$ Menyederhanakan soal

$\begin{align} \frac{x}{6} - \frac{k}{x} & = \frac{1}{2} \, \, \text{ ( kali } 6x ) \\ x^2 - 6k & = 3x \\ x^2 - 3x - 6k & = 0 \\ a = 1, \, b = -3, \, c & = -6k \end{align}$

$\spadesuit \,$ Salah satu akarnya -6 , artinya

$x_1 = -6$

$\spadesuit \,$ Menentukan

$x_2$ dari operasi akar

$\begin{align} x_1 + x_2 & = \frac{-b}{a} \\ -6 + x_2 & = \frac{-(-3)}{1} \\ -6 + x_2 & = 3 \\ x_2 & = 9 \end{align}$
Jadi, akar yang lainnya adalah 9.

$\heartsuit$
Catatan : Pada pembahasan ini tidak perlu menentukan nilai

$k$ dulu

Nomor 3

$\int \limits_{-3}^{3} | x^2 - 2x - 3 | \, dx = ....$

$\clubsuit \,$ Menentukan interval positif dan negatif fungsi

$\begin{align} x^2 - 2x - 3 & = 0 \\ (x+1)(x-3) & = 0 \\ x = -1 \vee x & = 3 \end{align}$

Artinya fungsi

$f(x) = x^2 - 2x - 3 \,$ bernilai negatif saat

$-1 \leq x \leq 3 \,$ dan selain itu positif.

$\clubsuit \,$ Definisi harga mutlak

$|f(x)| = \left\{ \begin{array}{cc} f(x) & , \text{untuk } f(x) \geq 0 \, \text{(positif)} \\ -f(x) & , \text{untuk } f(x) < 0 \, \text{(negatif)} \\ \end{array} \right.$
Sehingga untuk

$f(x) = x^2 - 2x - 3 \,$

$|x^2 - 2x - 3| = \left\{ \begin{array}{cc} x^2 - 2x - 3 & , x \leq -1 \vee x \geq 3 \\ -(x^2 - 2x - 3) & , -1 < x < 3 \\ \end{array} \right.$
Artinya :
Untuk

$x \leq -1 \vee x \geq 3 \rightarrow |x^2 - 2x - 3| = x^2 - 2x - 3$
Untuk

$-1 < x < 3$

$\rightarrow |x^2 - 2x - 3| = -(x^2 - 2x - 3) = -x^2 + 2x + 3$

$\clubsuit \,$ Sifat integral :

$\int \limits_{a}^{c} f(x) dx = \int \limits_{a}^{b} f(x) dx + \int \limits_{b}^{c} f(x) dx$

$\clubsuit \,$ Menyelesaikan integral dengan sifat dan harga mutlak

$\begin{align} & \int \limits_{-3}^{3} | x^2 - 2x - 3 | \, dx \\ & = \int \limits_{-3}^{-1} | x^2 - 2x - 3 | \, dx + \int \limits_{-1}^{3} | x^2 - 2x - 3 | \, dx \\ & = \int \limits_{-3}^{-1} (x^2 - 2x - 3) \, dx + \int \limits_{-1}^{3} (-x^2 + 2x + 3) \, dx \\ & = \left( \frac{1}{3} x^3 - x^2 - 3x \right)_{-3}^{-1} + \left( -\frac{1}{3} x^3 + x^2 + 3x \right)_{-1}^{3} \\ & = \frac{32}{3} + \frac{32}{3} = \frac{64}{3} \end{align}$
Jadi, hasil integralnya adalah

$\frac{64}{3} . \heartsuit$
Catatan : Soal ini sulit karena melibatkan harga mutlak dan batasnya harus dipecah.

Nomor 4

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk

$a$ . P dan Q masing - masing merupakan titik tengah AB dan CD, sedangkan R merupakan titik perpotongan EG dan FH. Jarak titik R ke bidang EPQH adalah ....

$\spadesuit \,$ Gambar

Jarak R ke bidang EPQH = panjang RO ( jarak terdekatnya)

$NR = \frac{1}{2} NK = \frac{1}{2} a$

$MN = \sqrt{MR^2 + RN^2 } = \sqrt{a^2 + (\frac{1}{2} a)^2 } = \frac{1}{2}a\sqrt{5}$

$\spadesuit \,$ Menentukan panjang RO dengan luas segitiga MNR

$\begin{align} L_{\Delta MNR} \text{(alas MR)} & = L_{\Delta MNR} \text{(alas MN)} \\ \frac{1}{2} . MR. RN & = \frac{1}{2} . MN . RO \\ MR. RN & = MN . RO \\ a. \frac{1}{2} a & = \frac{1}{2} a \sqrt{5} . RO \\ a & = \sqrt{5} . RO \\ RO & = \frac{a}{\sqrt{5}} = \frac{a}{5} \sqrt{5} \end{align}$
Jadi, jaraknya adalah

$\frac{a}{5} \sqrt{5} . \heartsuit$

Nomor 5

Diketahui suatu persamaan parabola

$y = ax^2 + bx + c. \,$ Jika

$a, \, b \,$ dan

$c \,$ berturut - turut merupakan suku pertama, kedua, dan ketiga suatu barisan aritmetika, serta garis singgung parabola tersebut di titik (1,12) sejajar dengan garis

$y = 6x$ , maka nilai

$(3a + 2b + c ) = ....$

$\clubsuit \,$ Barisan aritmatika :

$a, \, b, \, c$
Selisih sama :

$b - a = c - b \rightarrow a + c = 2b \,$ ....pers(i)

$\clubsuit \,$ Substitusi titik (1,12) ke parabola

$\begin{align} (1,12) \rightarrow y & = ax^2 + bx + c \\ 12 & = a.1^2 + b.1 + c \\ a + b + c & = 12 \, \, \, \text{...pers(ii)} \end{align}$

$\clubsuit \,$ Substitusi pers(i) ke pers(ii)

$\begin{align} a + b + c & = 12 \\ (a+c) + b & = 12 \\ 2b + b & = 12 \rightarrow b = 4 \end{align}$

$\clubsuit \,$ Gradien garis :

$y = 6x \rightarrow m_1 = 6$
Karena sejajar, maka gradien garis singgungnya sama dengan gradien garis

$y = 6x$ , sehingga

$m = 6$

$\clubsuit \,$ Gradien garis singgung :

$m = f^\prime (x)$

$\begin{align} y & = ax^2 + bx + c \rightarrow y^\prime = 2ax + b \\ m & = f^\prime (1) \\ 6 & = 2a.1 + b \\ 2a + b & = 6 \\ b = 4 \rightarrow 2a + 4 & = 6 \\ 2a & = 2 \rightarrow a = 1 \end{align}$
pers(i) :