Pembahasan Soal UM UGM Matematika IPA tahun 2015 Kode 631 Nomor 1 sampai 5


Nomor 1
Jika garis $ 2x + y + 4 = 0 \, $ dan $ 2x + y -6 = 0 \, $ menyinggung lingkaran dengan pusat $(1,p) \, $ , maka persamaan lingkaran tersebut adalah ....
$\spadesuit \, $ Konsep Dasar
*). Persamaan lingkaran dengan pusat $(a,b) $ dan jari-jari $ r $ :
         $ (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 $
*). Jarak titik $(a,b) $ ke garis $ mx + ny + c = 0 $
Jarak $ \, = \left| \frac{m.a + n.b + c}{\sqrt{m^2+n^2} } \right| $
*). Sifat mutlak : $ |x|^2 = x^2 $
$\spadesuit \, $ Ilustrasi gambar kedua garis menyinggung lingkaran

um_ugm_mat_ipa-2015_soal_nomor_1.png
garis 1 dan garis 2 sejajar karena memiliki besar gradien yang sama yaitu $ - 2 $.
Jari-jari lingkaran adalah jarak pusat lingkaran $ A(1,p) \, $ ke garis :
$ r_1 = \, $ jarak pusat lingkaran ke garis 1 $ \, = \left| \frac{2.1 + p -6}{\sqrt{2^2+1^2} } \right| $ ,
$ r_2 = \, $ jarak pusat lingkaran ke garis 2 $ \, = \left| \frac{2.1 + p + 4}{\sqrt{2^2+1^2} } \right| $ .
Dimana besarnya $ r_1 \, $ sama dengan $ r_2 $.
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ p \, $ dari $ r_1 = r_2 $
$\begin{align} r_1 & = r_2 \\ \left| \frac{2.1 + p -6}{\sqrt{2^2+1^2} } \right| & = \left| \frac{2.1 + p + 4}{\sqrt{2^2+1^2} } \right| \\ \left| \frac{ p -4}{\sqrt{5} } \right| & = \left| \frac{ p + 6}{\sqrt{5} } \right| \\ \left| p -4 \right| & = \left| p + 6 \right| \, \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dikuadratkan)} \\ \left| p -4 \right|^2 & = \left| p + 6 \right| ^2 \\ ( p -4 )^2 & = ( p + 6 ) ^2 \\ p^2 - 8p + 16 & = p^2 + 12p + 36 \\ -20p & = 20 \\ p & = -1 \end{align}$
Sehingga pusat lingkarannya yaitu : $ A (1,p) = A(1,-1) $.
$\spadesuit \, $ Menentukan jari-jari lingkaran dengan nilai $ p = -1 $ ,
$\begin{align} r & = r_1 = \left| \frac{2.1 + p -6}{\sqrt{2^2+1^2} } \right| \\ & = \left| \frac{2.1 + (-1) -6}{\sqrt{5} } \right| \\ & = \left| \frac{-5}{\sqrt{5} } \right| \\ & = \frac{5}{\sqrt{5} } = \sqrt{5} \end{align}$
$\spadesuit \, $ Menyusun persamaan lingkaran : Pusat $(a,b) = (1,-1) , \, $ dan $ r = \sqrt{5} $
$\begin{align} (x-a)^2 + (y-b)^2 & = r^2 \\ (x-1)^2 + (y-(-1))^2 & = (\sqrt{5})^2 \\ (x^2 - 2x + 1) + (y^2 + 2y + 1) & = 5 \\ x^2 + y^2 - 2x + 2y - 3 & = 0 \end{align}$
Jadi, persamaan lingkarannya adalah $ x^2 + y^2 - 2x + 2y - 3 = 0 . \, \heartsuit $
Nomor 2
Nilai minimum fungsi $ f(x) = 2 \sin x + \cos 2x \, $ pada $ \, 0 \leq x \leq 2\pi \, $ adalah .....
$\clubsuit \, $ Konsep Dasar :
*). Syarat nilai maksimum/minimum : $ f^\prime (x) = 0 $ .
*). Bentuk trigonometri : $ \sin 2x = 2\sin x \cos x $
$\clubsuit \,$ Menentukan turunan fungsi trigonometrinya :
$\begin{align} f(x) & = 2 \sin x + \cos 2x \\ f^\prime (x) & = 2\cos x - 2 \sin 2x \\ f^\prime (x) & = 0 \, \, \, \, \, \, \text{(syarat nilai maks/min)} \\ 2\cos x - 2 \sin 2x & = 0 \, \, \, \, \, \, \text{(bagi 2)} \\ \cos x - \sin 2x & = 0 \\ \cos x - 2 \sin x \cos x & = 0 \\ \cos x (1 - 2 \sin x ) & = 0 \\ \cos x = 0 \vee 1-2 \sin x & = 0 \rightarrow \sin x = \frac{1}{2} \\ \cos x = 0 \rightarrow x & = 90^\circ, \, 270^\circ \\ \sin x = \frac{1}{2} \rightarrow x & = 30^\circ, \, 150^\circ \end{align}$
$\clubsuit \,$ Menentukan nilai fungsi dengan substitusi semua nilai $ x \, $
Fungsinya : $ f(x) = 2 \sin x + \cos 2x $
$\begin{align} x = 30^\circ \rightarrow f(x) & = 2 \sin x + \cos 2x \\ f(30^\circ ) & = 2 \sin 30^\circ + \cos 2. 30^\circ = \frac{3}{2} \\ x = 90^\circ \rightarrow f(x) & = 2 \sin x + \cos 2x \\ f(90^\circ ) & = 2 \sin 90^\circ + \cos 2. 90^\circ = 1 \\ x = 150^\circ \rightarrow f(x) & = 2 \sin x + \cos 2x \\ f(150^\circ ) & = 2 \sin 150^\circ + \cos 2. 150^\circ = \frac{3}{2} \\ x = 270^\circ \rightarrow f(x) & = 2 \sin x + \cos 2x \\ f(270^\circ ) & = 2 \sin 270^\circ + \cos 2. 270^\circ = -3 \end{align}$
Jadi, nilai minimum fungsi $ f(x) = 2 \sin x + \cos 2x \, $ pada interval $ 0 \leq x \leq 2\pi \, $ adalah $ -3 . \, \heartsuit $
Nomor 3
Hasil pencerminan titik $ C(-4,-2) \, $ terhadap garis $ ax + by + 6 = 0 \, $ adalah $ \, C'(4,10) \, $ . Nilai $ a + 2b \, $ adalah ....
$\spadesuit \, $ Konsep Dasar :
*). Titik tengah antara titik $ A(x_1,y_1) \, $ dan $ B(x_2,y_2) \, $
titik tengahnya : $ \left( \frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2} \right) $
*). gradien dua titik $ A(x_1,y_1) \, $ dan $ B(x_2,y_2) \, $
$ m_{AB} = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2 - y_1}{x_2-x_1} $
*). Gradien bentuk garis $ ax + by + c = 0 \, $ adalah $ m = -\frac{a}{b} $ .
*). Dua garis tegak lurus berlaku : $ m_1 . m_2 = -1 $.
$\spadesuit \, $ Ilustrasi gambarnya
um_ugm_mat_ipa-2015_soal_nomor_3.png
*). Pencerminan titik C terhadap garis $ ax + by + 6 = 0 \, $ menghasilkan bayangan titik C' dimana garis yang menghubungkan titik C ke C' tegak lurus dengan garis $ ax + by + 6 = 0 \, $ sebagai cerminnya.
*). Titik tengah antara C dan C' adalah titik P terletak pada garis $ ax + by + 6 = 0 $
$\spadesuit \, $ Menentukan titik tengah (titik P) antara titik $ C(-4,-2) \, $ dan titik $ \, C'(4,10) \, $
$ \begin{align} P & = \left( \frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2} \right) \\ & = \left( \frac{-4 + 4}{2}, \frac{-2 + 10}{2} \right) \\ & = \left( 0 , 4 \right) \end{align} $
$\spadesuit \, $ Substitusi titik P(0,4) ke garis $ ax + by + 6 =0 \, $
$ \begin{align} (x,y)=(0,4) \rightarrow ax + by + 6 & = 0 \\ a.0 + b.4 + 6 & = 0 \\ 0 + 4b + 6 & = 0 \\ 4b & = -6 \\ b & = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2} \end{align} $
$\spadesuit \, $ Menentukan gradien :
*). garsi $ ax + by + 6 = 0 \rightarrow m_1 = -\frac{a}{b} $
*). Gradien garis C(-4,-2) ke C'(4,10) :
$ \begin{align} m_2 & = m_{CC'} = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \\ & = \frac{10-(-2)}{4 - (-4)} \\ & = \frac{12}{8} \\ & = \frac{3}{2} \end{align} $
$\spadesuit \, $ Kedua garis tegak lurus, berlaku $ m_1.m_2 = -1 $
$ \begin{align} m_1 . m_2 & = -1 \\ -\frac{a}{b} . \frac{3}{2} & = -1 \\ \frac{a}{-\frac{3}{2}} . \frac{3}{2} & = 1 \\ \frac{a}{1} .(-1) & = 1 \\ a & = -1 \end{align} $
$\spadesuit \, $ Menentukan hasilnya :
$ a + 2b = (-1) + 2 . (-\frac{3}{2}) = -1 + (-3) = - 4 $
Jadi, kita peroleh nilai $ a + 2b = = -4 . \, \heartsuit $
Nomor 4
Diketahui vektor $ \vec{p} = a\vec{i}+b\vec{j}+2\vec{k} , \, \vec{q} = \vec{i}+2\vec{j}+c\vec{k} , \, $ dan $ \vec{r} = 3\vec{i}+6\vec{j}+c\vec{k} , \, $ dengan $ a, b \neq 0 . \, $ Jika $ \vec{p} \bot \vec{q} \, $ dan $ \, \vec{p} \bot \vec{r} \, $ maka $ \frac{a^2 + 4b^2}{ab} = .... $
$\spadesuit \, $ Konsep Dasar
*). Misalkan ada vektor :
$ \vec{a} = a_1\vec{i}+a_2\vec{j}+a_3\vec{k} \, $ dan $ \vec{b} = b_1\vec{i}+b_2\vec{j}+b_3\vec{k} $.
*). Perkalian dot kedua vektor : $ \vec{a}.\vec{b} = a_1.b_1 + a_2.b_2 + a_3.b_3 $ .
*). $ \vec{a} \, $ tegak lurus $ \vec{b} \, $ berlaku $ \vec{a}.\vec{b} = 0 $ .
$\spadesuit \, $ Menyusun persamaan
*). $ \vec{p} \, $ tegak lurus $ \vec{q} \, ( \vec{p} \bot \vec{q}) $ :
$ \vec{p} . \vec{q} = 0 \rightarrow a + 2b + 2c = 0 \, $ ....pers(i)
*). $ \vec{p} \, $ tegak lurus $ \vec{r} \, ( \vec{p} \bot \vec{r}) $ :
$ \vec{p} . \vec{r} = 0 \rightarrow 3a + 6b + 2c = 0 \, $ ....pers(ii)
$\spadesuit \, $ Eliminasi pers(i) dan pers(ii) :
$ \begin{array}{cc} 3a + 6b + 2c = 0 & \\ a + 2b + 2c = 0 & - \\ \hline 2a + 4b = 0 & \\ a = -2b & \end{array} $
$\spadesuit \, $ Menentukan hasil dengan $ a = - 2b $
$\begin{align} \frac{a^2 + 4b^2}{ab} = \frac{(-2b)^2 + 4b^2}{(-2b)b} = \frac{4b^2 + 4b^2}{-2b^2} = \frac{8b^2}{-2b^2} = - 4 \end{align}$
Jadi, nilai $ \frac{a^2 + 4b^2}{ab} = -4 . \, \heartsuit $
Nomor 5
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk $ 4p \, $ . Titik P, Q, dan R berturut-turut terletak pada rusuk FG, BF, dan GH dengan $ GP = BQ = GR = p . \, $ Sudut antara bidang yang melalui P, Q, R dan bidang ABCD adalah $ \alpha \, $ . Nilai $ \tan \alpha \, $ adalah ....
$\clubsuit \, $ ilustrasi gambarnya
um_ugm_mat_ipa-2015_soal_nomor_5.png
*). Untuk menentukan sudut antara bidang yang melalu P,Q, R dan bidang alas, kita perluas bidang yang melalu P,Q,R sehingga terbentuk segitiga SIN dengan bidang PRLWUQ adalah bidang irisan yang melalui P,Q,R dengan kubus.
*). Sudut yang terbentuk adalah $ \alpha \, $ yang terbentuk pada segitiga siku-siku IXC.
*). Panjang sisi kubus langsung kita ganti dengan 4 saja tanpa harus menggunakan $ 4p \, $ karena hasilnya akan sama.
*). Cara menentukan bidang irisannya atau perluasan bidangnya :
i). perpanjang garis PQ sehingga memotong CB di N dan CG di I,
ii). perpanjang garis IR sehingga memotong CD di S dan HD di L,
iii). hubungkan gari NS sehingga memotong AB di U dan AD di W,
iv). Hubungkan titik-titik sehingga membentuk bidang irisan PRLWUQ.
$\clubsuit \, $ Menentukan panjang sisi-sisi :
*). Perhatikan segitiga NCI, misalkan IG = BN = $ x $. Segitiga IPG sebangun dengan segitiga besar INC,
$\begin{align} \frac{PG}{NC} & = \frac{IG}{IC} \\ \frac{1}{x + 4} & = \frac{x}{x + 4} \\ x & = 1 \end{align}$
sehingga kita peroleh $ IG = BN = x = 1 $
Panjang $ \, IC = IG + GC = 1 + 4 = 5 $
Panjang WU juga sama dengan BU sama dengan BN.
Sehingga panjang AU = AW = 3 .
*). Perhatikan segitiga AWU siku-siku di A, sehingga $ WU = 3\sqrt{2} $
dan $ WX = \frac{1}{2}WU = \frac{3}{2}\sqrt{2} $ .
Sehingga $ AX = \sqrt{AW^2 - WX^2} = \sqrt{3^2 - (\frac{3}{2}\sqrt{2})^2} = \frac{3}{2}\sqrt{2} $
Panjang CX = AC - AX = $ 4\sqrt{2} - \frac{3}{2}\sqrt{2} = \frac{5}{2}\sqrt{2} $
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai $ \tan \alpha \, $ pada segitiga ICX :
$\begin{align} \tan \alpha & = \frac{depan}{samping} \\ & = \frac{IC}{CX} \\ & = \frac{5}{\frac{5}{2}\sqrt{2}} \\ & = \sqrt{2} \end{align}$
Jadi, nilai $ \tan \alpha = \sqrt{2}. \, \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Tidak ada komentar:

Posting Komentar