Soal dan Pembahasan UM UGM 2007 Matematika Dasar

Nomor 1

$\frac{5(\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{3} - \sqrt{2})^3}{2\sqrt{2} - \sqrt{3}} = ....$
A).

$\sqrt{3} - \sqrt{2} \,$
B).

$3\sqrt{3} - 2\sqrt{2} \,$
C).

$2\sqrt{2} - 3\sqrt{3}$
D).

$3\sqrt{2} - 2\sqrt{3}$
E).

$4\sqrt{2} - 3\sqrt{3}$

Nomor 2

Jika

${}^3 \log 8 = x \,$ dan

${}^3 \log 25 = y$ , maka

${}^3 \log 15\sqrt[3]{16} = ....$
A).

$9x + 8y + 18 \,$
B).

$\frac{9x + 8y + 18}{18} \,$
C).

$8x + 9y + 18 \,$
D).

$\frac{ 8x + 9y + 18 }{18} \,$
E).

$\frac{2x+3y+5}{7}$

Nomor 3

Penyelesaian persamaan

$3^{2x+2} + 8.3^x - 1 = 0$ terletak pada interval ....
A).

$\left[ -\frac{1}{2}, 0 \right]$
B).

$\left[2, 0 \right]$
C).

$\left[ -\frac{1}{2}, \frac{1}{2} \right]$
D).

$\left[ \frac{1}{2}, 1 \right]$
E).

$\left[ 1, 2 \right]$

Nomor 4

Persamaan garis yang melalui titik potong garis

$2x + 2y - 4 = 0$ dan

$x - 2y - 5 = 0$ dan tegak lurus pada garis

$12x + 6y - 3 = 0$ adalah

$x + by + c = 0$ . Nilai

$b + c \,$ adalah .....
A).

$-7 \,$ B).

$-3\frac{1}{2} \,$ C).

$1\frac{1}{2} \,$ D).

$3 \,$ E).

$5 \,$

Nomor 5

Jika

$x$ dan

$y$ memenuhi

$\frac{2x+3y+2}{x+y} = 2$ dan

$\frac{3x-y+1}{4x+5y}= 6$ , maka

$x - y = ....$
A).

$6 \,$ B).

$5 \,$ C).

$4 \,$ D).

$-4 \,$ E).

$-5 \,$

Nomor 6

Jika fungsi

$f(x) = ax^2 + bx + c$ mencapai meinimum di

$x = 0$ dan grafik fungsi

$f$ melalui titik

$(0,2)$ dan

$(1,8)$ , maka nilai

$a + b + 2c = ....$
A).

$6 \,$
B).

$8 \,$
C).

$10 \,$
D).

$12 \,$
E).

$16 \,$

Nomor 7

Diberikan

$x_1$ dan

$x_2$ merupakan akar dari persamaan

$x^2 - px + (p+2) = 0$ . Nilai

$x_1^2 + x_2^2$ minimum bila nilai

$p$ sama dengan ....
A).

$-1 \,$ B).

$0 \,$ C).

$\frac{1}{2} \,$ D).

$1 \,$ E).

$2$

Nomor 8

Nilai maksimum dari

$z = 4x + 9y$ dengan syarat

$x + 2y \leq 12$ ,

$2x + y \leq 12$ ,

$x \geq 0$ ,

$y \geq 0$ adalah ....
A).

$24 \,$ B).

$42 \,$ C).

$48 \,$ D).

$52 \,$ E).

$54 \,$

Nomor 9

Diketahui

$\Delta ABC$ siku-siku di B,

$\cos \alpha = \frac{4}{5}$ dan

$\tan \beta = 1$ . Jika

$AD = a$ , maka AC = ....

A).

$4a \,$ B).

$4\frac{1}{3}a \,$ C).

$4\frac{2}{3}a \,$ D).

$5a \,$ E).

$5\frac{1}{3}a$

Nomor 10

Nilai

$\displaystyle \lim_{x \to 2 } \frac{\sqrt{x^2+5} -3}{x^2-2x} \,$ adalah ....
A).

$0 \,$ B).

$\frac{1}{3} \,$ C).

$\frac{1}{2} \,$ D).

$\frac{3}{4} \,$ E).

$\infty$

Nomor 11

Fungsi

$y = 2x + 3\sqrt[3]{x^2} \,$ mencapai maksimum untuk

$x$ bernilai ....
A).

$2 \,$ B).

$1 \,$ C).

$0 \,$ D).

$-1 \,$ E).

$-2$

Nomor 12

Jika nilai maksimum fungsi

$f(x) = x + \sqrt{a - 3x}$ adalah 1, maka

$a = ....$
A).

$\frac{-3}{4} \,$ B).

$\frac{-1}{4} \,$ C).

$0 \,$ D).

$\frac{1}{2} \,$ E).

$\frac{3}{4}$

Nomor 13

Jika

$x-1, \, x - \frac{3}{2}, \, x - \frac{7}{4} \,$ adalah tiga suku pertama suatu deret geometri, maka jumlah tak hingga deret tersebut adalah ....
A).

$-2 \,$ B).

$-1 \,$ C).

$-\frac{1}{2} \,$ D).

$1 \,$ E).

$2$

Nomor 14

Empat buah bilangan merupakan suku berurutan suatu deret aritmetika. Hasil kali kedua suku tengahnya sama dengan 135 dan hasil kali kedua suku pinggirnya sama dengan 63. Jumlah kedua suku tengah tersebut adalah ....
A).

$-35 \,$ atau

$35$
B).

$-27 \,$ atau

$27$
C).

$-24 \,$ atau

$24$
D).

$-21 \,$ atau

$21$
E).

$-15 \,$ atau

$15$

Nomor 15

Hasil penjualan suatu toko serba ada diperlihatkan dalam diagram lingkaran di bawah ini. Jika diketahui hasil penjualan minyak lebih besar Rp 1.260.00,- dibandingkan hasil penjualan beras, maka hasil penjualan rokok adalah ....

A). Rp 1.260.000,-
B). Rp 1.380.000,-
C). Rp 1.800.000,-
D). Rp 1.890.000,-
E). Rp 1.900.000,-

Nomor 16

Jika A dan B dua kejadian dengan

$P(B^c) = 0,45$ ,

$P(A \cap B ) = 0,45$ dan

$P( A \cup B) = 0,85$ , maka

$P(A^c) \,$ sama dengan ....
A).

$0,15 \,$ B).

$0,25 \,$ C).

$0,45 \,$ D).

$0,55 \,$ E).

$0,75$

Nomor 17

Apabila

$A = \left[ \begin{matrix} -5 & 2 \\ 2 & -1 \end{matrix} \right]$ ,

$A^T \,$ menyatakan transpose dari A dan

$A^{-1}$ menyatakan invers dari A, maka

$A^T + A^{-1} = ....$
A).

$\left[ \begin{matrix} -1 & -2 \\ -2 & -5 \end{matrix} \right] \,$ B).

$\left[ \begin{matrix} -1 & 2 \\ 2 & -5 \end{matrix} \right] \,$
C).

$\left[ \begin{matrix} 1 & -2 \\ -2 & 5 \end{matrix} \right] \,$ D).

$\left[ \begin{matrix} -6 & 0 \\ 0 & 6 \end{matrix} \right] \,$
E).

$\left[ \begin{matrix} -6 & 0 \\ 0 & -6 \end{matrix} \right]$

Nomor 18

Jika

$\left( \begin{matrix} -1 & 2 & 0 \\ 3 & -1 & 2 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} -1 & 1 \\ 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} p & q \\ r & s \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right)$
maka

$p + q + r + s = ....$
A).

$-5 \,$ B).

$-4 \,$ C).

$3 \,$ D).

$4 \,$ E).

$5 \,$

Nomor 19

Akar-akar persamaan

$x^2 - (a+3)x + 4a = 0$ adalah

$\alpha$ dan

$\beta$ . Nilai minimum dari

$\alpha ^2 + \beta ^2 + 4\alpha \beta \,$ dicapai untuk

$a = ....$
A).

$-7$
B).

$-2$
C).

$2$
D).

$3$
E).

$7$

Nomor 20

Jika matriks

$\left( \begin{matrix} {}^x \log a & \log (4a-14) \\ \log (b-4) & 1 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} \log b & 1 \\ \log a & 1 \end{matrix} \right)$ , maka

$a = ....$
A).

$1 \,$ B).

$4 \,$ C).

$6 \,$ D).

$10 \,$ E).

$10^6$