Jumat, 12 Desember 2014

Pembahasan Soal SBMPTN Matematika Dasar kode 654 tahun 2014 Nomor 6 sampai 10


Nomor 6
Persamaan kuadrat $2x^2-px+1=0$ dengan $p>0$ , mempunyai akar-akar $\alpha$ dan $\beta$. Jika $x^2-5x+q=0$ mempunyai akar-akar $\frac{1}{\alpha^2}$ dan $\frac{1}{\beta^2}$, maka $q-p=...$
$\spadesuit \, $ pk1 $2x^2-px+1=0$ mempunyai akar-akar $\alpha$ dan $\beta$ :
$\alpha + \beta = \frac{-b}{a}=\frac{p}{2}$ dan $\alpha . \beta = \frac{c}{a}=\frac{1}{2}$
$\spadesuit \, $ pk2 $x^2-5x+q=0$ mempunyai akar-akar $x_1=\frac{1}{\alpha^2}$ dan $x_2=\frac{1}{\beta^2}$ :
$x_1+x_2=\frac{-b}{a}=\frac{5}{1}$ dan $x_1.x_2=\frac{c}{a}=\frac{q}{1}=q$
$\spadesuit \, $ menentukan nilai $p$ dan $q$ dari pk2 dan pk1
$\begin{align*} x_1.x_2&= \frac{1}{\alpha^2} . \frac{1}{\beta^2} \Rightarrow q=\frac{1}{(\alpha . \beta )^2} \Rightarrow q=\frac{1}{\left( \frac{1}{2} \right)^2} \Rightarrow q=4 \\ x_1+x_2&= \frac{1}{\alpha^2} + \frac{1}{\beta^2} \Rightarrow 5 = \frac{(\alpha + \beta )^2- 2\alpha \beta}{(\alpha . \beta )^2} \Rightarrow 5 = \frac{\left( \frac{p}{2} \right)^2- 2.\frac{1}{2}}{\left( \frac{1}{2} \right)^2} \\ &\Rightarrow 5=p^2-4 \Rightarrow p=\pm 3 \end{align*}$
Karena $p>0$, maka nilai $p=3$ yang memenuhi , sehingga $q-p=4-3=1$ .
Jadi, nilai $q-p=1. \heartsuit $
Nomor 7
Diketahui $f(0)=1$ dan $f^\prime (0)=2$. Jika $g(x)=\frac{1}{(2f(x)-1)^3}$ , maka $g^\prime (0)=...$
$\clubsuit \, $ Menurunkan fungsi $g(x)=\frac{1}{(2f(x)-1)^3}=(2f(x)-1)^{-3}$
$\begin{align*} g(x)&=(2f(x)-1)^{-3} \\ g^\prime(x)&=-3.(2f(x)-1)^{-4}.2f^\prime(x) \\ g^\prime(x)&=\frac{-6f^\prime(x)}{(2f(x)-1)^4} \\ g^\prime(0)&=\frac{-6f^\prime(0)}{(2f(0)-1)^4} =\frac{-6.2}{(2.1-1)^4}=\frac{-12}{1^4} =-12 \end{align*}$
Jadi nilai $ g^\prime(0) = -12 . \heartsuit$
Nomor 8
Jika $x_1$ dan $x_2$ adalah penyelesaian persamaan $\left( {}^{2}logx \right)^2 + {}^{2}logx=6$, maka $x_1x_2=...$
$\spadesuit \, $ Misalkan $p={}^{2}log \, x $
$\begin{align*} \left( {}^{2}log \, x \right)^2 + {}^{2}log\, x &=6 \\ p^2+p&=6 \\ p^2+p-6 &= 0 \\ (p-2)(p+3) &= 0 \\ p=2 \, & \text{atau} \, p=-3 \end{align*}$
$p=2 \Rightarrow {}^{2}log \, x = 2 \Rightarrow x=2^2 \Rightarrow x_1=4$
$p=-3 \Rightarrow {}^{2}log \, x = -3 \Rightarrow x=2^{-3} \Rightarrow x_2=\frac{1}{8}$
sehingga , $x_1.x_2=4.\frac{1}{8}=\frac{1}{2}.$
Jadi, $x_1.x_2= \frac{1}{2}. \heartsuit$
Nomor 9
Diketahui matriks $A=\left( \begin{matrix} \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} & x \end{matrix} \right)$. Jika $|A|$ menyatakan determinan $A$ , maka deret geometri $|A|+|A|^2+|A|^3+...$ konvergen ke ...
$\clubsuit \, $ Menentukan determinan A :
$ |A|=\frac{1}{2}x-\left( -\frac{1}{2} \right).\left( -\frac{1}{2} \right) \Rightarrow |A|=\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}.$
$\clubsuit \, $ Deret geometri tak hingga : $s_\infty = \frac{a}{1-r} \, $ dengan $ -1 < r < 1 $
$\clubsuit \, $ Deret $|A|+|A|^2+|A|^3+...$ memiliki $a=|A|$ dan $r=\frac{u_2}{u_1}=\frac{|A|^2}{|A|}=|A|$
$\clubsuit \, $ Menentukan jumlah $|A|+|A|^2+|A|^3+...$
$\begin{align*} |A|+|A|^2+|A|^3+...&=s_\infty \\ &= \frac{a}{1-r} = \frac{|A|}{1-|A|} \\ &= \frac{\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}}{1-\left( \frac{1}{2}x-\frac{1}{4} \right) } \\ &= \frac{\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}}{1-\left( \frac{1}{2}x-\frac{1}{4} \right) } . \frac{4}{4} \\ &= \frac{2x-1}{4-2x+1}=\frac{2x-1}{5-2x} = -\frac{2x-1}{2x-5} \end{align*}$
$\clubsuit \, $ Menentukan syarat rasio : $ -1 < r < 1 $
$\begin{align*} \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, -1 < & r < 1 \\ -1 < | &A| < 1 \\ -1 < \frac{1}{2}x & -\frac{1}{4} < 1 \, \, \text{(kali 4)}\\ -4 < 2x & - 1 < 4 \, \, \text{(ditambah 1)} \\ -3 < 2 & x < 5 \, \, \text{(dibagi 2)} \\ -\frac{3}{2} < & x < \frac{5}{2} \end{align*}$
Jadi, $|A|+|A|^2+|A|^3+...=-\frac{2x-1}{2x-5} \, \, \, $ dengan $-\frac{3}{2} < x < \frac{5}{2}. \heartsuit $
Nomor 10
Jika titik $(x,y)$ memenuhi $x^2\leq y \leq x+6$, maka nilai maksimum $x+y$ adalah ...
$\spadesuit \, x^2\leq y \leq x+6$ dapat dipecah menjadi $y \leq x+6 \, $ dan $ \, y \geq x^2 $
$\spadesuit \, $ Menentukan titik potong kedua kurva :
$\begin{align*} y_1&=y_2 \\ x^2 & = x+6 \\ x^2 - x - 6 &= 0 \\ (x+2)(x-3)&=0 \\ x=-2 \, &\text{atau} \, x=3 \\ x=-2 \, &\Rightarrow y=(-2)^2=4 , \, \text{titiknya:} \, (-2,4) \\ x=3 \, &\Rightarrow y=(3)^2=9 , \, \text{titiknya:} \, (3,9) \end{align*}$
sbmptn_matdas_1_2014.png
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai maksimum dari $x+y$ diperoleh di titik (3,9):
$x+y=3+9=12$
Jadi, nilai maksimum dari $x+y$ adalah 12. $ \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

2 komentar:

  1. Boleh minta file lengkapnya nggk Pak. Mkasih ya atas kesdiaannya.

    BalasHapus
    Balasan
    1. Hallow Leon.
      Maksudnya file yang mana mau diminta?

      Hapus