Jumat, 13 Februari 2015

Pembahasan Soal SPMB Matematika Dasar tahun 2007


Nomor 1
Jika $a > 0 $ dan $a\neq 1 $ memenuhi $a^{\sqrt[3]{4}} = \left( \frac{1}{a} \right)^{-b} $ , maka ${}^2 \log b = ....$
$\clubsuit \, $ Konsep dasar : $a^{f(x)} = a^{g(x)} \rightarrow f(x) = g(x) $
$\begin{align} a^{\sqrt[3]{4}} & = \left( \frac{1}{a} \right)^{-b} \\ a^{\sqrt[3]{4}} & = \left( a^{-1} \right)^{-b} \\ \not{a}^{\sqrt[3]{4}} & = \not{a}^b \\ b & = \sqrt[3]{4} \\ b & = (4)^\frac{1}{3} = (2^2)^\frac{1}{3} = 2^\frac{2}{3} \end{align}$
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai ${}^2 \log b $
$\begin{align} {}^2 \log b & = {}^2 \log 2^\frac{2}{3} \\ & = \frac{2}{3} . {}^2 \log 2 \\ & = \frac{2}{3} . 1 = \frac{2}{3} \end{align}$
Jadi, nilai $ {}^2 \log b = \frac{2}{3} . \heartsuit $
Nomor 2
Sebuah bilangan dikalikan 2, kemudian dikurangi 16 dan setelah itu dikalikan bilangan semula. Jika hasil akhirnya adalah $P $ , maka nilai minimum dari $P $ tercapai bilamana bilangan semula adalah ....
$\spadesuit \, $ Misalkan bilangan awalnya $x$
Dikali 2 : $2x$
dikurangi 16 : $2x-16$
dikali semula : $(2x-16)x$
Hasil akhirnya $P$ , sehingga : $P= (2x-16)x = 2x^2 - 16x $
$\spadesuit \, $ Nilai minimum $P$ saat $P^\prime = 0 $ (turunannya = 0 )
$P = 2x^2 - 16x \rightarrow P^\prime = 4x-16 $
$P^\prime = 0 \rightarrow 4x-16 = 0 \rightarrow x=4 $
Jadi, bilangan semula adalah 4. $ \heartsuit $
Nomor 3
Persamaan kuadrat $4x^2+p=-1 $ , mempunyai akar $x_1 $ dan $x_2 $ . Jika $x_1 = \frac{1}{2} $ , maka $p(x_1^2+x_2^2) = .... $
$\clubsuit \, $ Substitusi $x_1 = \frac{1}{2} $ ke persamaan kuadrat
$4x^2+p=-1 \rightarrow 4 \left( \frac{1}{2} \right)^2+p=-1 \rightarrow p=-2 $
$\clubsuit \, $ Substitusi $p=-2 $ ke persamaan kuadrat
$\begin{align*} 4x^2+p & = -1 \\ 4x^2+(-2) & = -1 \\ 4x^2 & = 1 \\ x^2 & = \frac{1}{4} \rightarrow x = \pm \frac{1}{2} \\ x_1 = \frac{1}{2} & \vee x_2 = -\frac{1}{2} \end{align*}$
$\clubsuit \, $ Nilai $p(x_1^2+x_2^2)$
$\begin{align*} p(x_1^2+x_2^2) & = (-2)\left(\left( \frac{1}{2} \right)^2+\left( -\frac{1}{2} \right)^2\right) \\ & = -2. \left( \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \right) = -1 \end{align*}$
Jadi, nilai $ p(x_1^2+x_2^2) = -1. \heartsuit $
Nomor 4
Jika $x_1 $ dan $x_2 $ adalah akar-akar persamaan $(5-2\log x ) \log x = \log 1000 $ , maka $x_1^2+x_2^2 = .... $
$\spadesuit \, $ Misalkan $p=\log x $
$\begin{align} (5-2\log x ) \log x & = \log 1000 \\ (5-2p)p & = 3 \\ 5p-2p^2 & = 3 \\ 2p^2 - 5p +3 & = 0 \\ (2p-3)(p-1) & = 0 \\ p=\frac{3}{2} & \vee p = 1 \\ p=\frac{3}{2} \rightarrow & \log x = \frac{3}{2} \rightarrow x_1 = 10^\frac{3}{2} \\ p=1 \rightarrow & \log x = 1 \rightarrow x_2 = 10^1 = 10 \end{align}$
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $x_1^2+x_2^2 $
$\begin{align} x_1^2+x_2^2 & = \left( 10^\frac{3}{2} \right)^2 + 10^2 \\ & = 10^3 + 10^2 \\ & = 1000+100 = 1100 \end{align}$
Jadi, nilai $x_1^2+x_2^2 = 1100. \heartsuit $
Nomor 5
Fungsi kuadrat $y= ax^2+x+a $ definit negatif untuk konstanta $a $ yang memenuhi ....
$\clubsuit \, $ Syarat definit negatif : $a < 0 $ dan $ D < 0 $ dengan $D=b^2-4ac $
$y= ax^2+x+a $
Syarat I : $ a < 0 \rightarrow HP_1 = \{ a < 0 \} $
Syarat II : $ D < 0 \rightarrow b^2-4ac < 0 $
$\begin{align*} b^2-4ac & < 0 \\ 1^2-4.a.a & < 0 \\ 1-4a^2 & < 0 \\ (1-2a)(1+2a) & < 0 \\ a = \frac{1}{2} & \vee a = -\frac{1}{2} \end{align*}$
spmb_matdas_1_2007.png
$HP_2 = \{a < -\frac{1}{2} \vee a > \frac{1}{2} \} $
Sehingga solusinya : $HP = HP_1 \cap HP_2 = \{ a < -\frac{1}{2} \} $
Jadi, nilai $a$ memenuhi $ \{ a < -\frac{1}{2} \}. \heartsuit$
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15 16-20 21-25

Tidak ada komentar:

Poskan Komentar