Kamis, 05 Maret 2015

Pembahasan Soal SPMB Matematika Dasar tahun 2003 nomor 16 sampai 20


Nomor 16
Simpangan kuartil dari data : 16 15 15 19 20 22 16 17 25 29 32 29 32 adalah ....
$\spadesuit \, $ Data diurutkan :
spmb_matdas_9_2003.png
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai kuartil
$Q_1 = \frac{16+16}{2} = 16 $
$Q_3 = \frac{29+29}{2} = 29 $
$\spadesuit \, $ Menentukan simpangan kuartil
$S_k = \frac{1}{2}(Q_3-Q_1) = \frac{1}{2}(29-16)=\frac{1}{2}.13 = 6,5 $
Jadi, simpangan kuartilnya adalah 6,5 . $\heartsuit $
Nomor 17
Jumlah 6 suku pertama deret aritmetika adalah 24. Sedangkan jumlah 10 suku pertamanya adalah 100. Suku ke-21 adalah ....
$\clubsuit \, $ Barisan dan deret aritmetika :
$U_n = a + (n-1)b \, \, $ dan $ \, S_n = \frac{n}{2}(2a+(n-1)b) $
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai $a \, $ dan $ \, b $
$S_6 = 24 \rightarrow \frac{6}{2}(2a+(6-1)b) = 24 \rightarrow 2a+5b=8 \, \, $ ...pers(i)
$S_{10} = 100 \rightarrow \frac{10}{2}(2a+(10-1)b) = 100 \rightarrow 2a+9b=20 \, \, $ ...pers(ii)
$\clubsuit \, $ Eliminasi pers(i) dan pers(ii)
$\begin{array}{cc} 2a+9b=20 & \\ 2a+5b=8 & - \\ \hline 4b = 12 \rightarrow b=3 & \end{array} $
pers(i) : $ 2a+5b=8 \rightarrow 2a + 5. 3 = 8 \rightarrow a = -\frac{7}{2} $
sehingga :
$U_{21} = a+ 20b = -\frac{7}{2} + 20 . 3 = -\frac{7}{2} + 60 = 56\frac{1}{2} $
Jadi, nilai suku ke-21 adalah $ 56\frac{1}{2} . \heartsuit $
Nomor 18
Jumlah 10 suku pertama deret : $ {}^a \log \frac{1}{x} + {}^a \log \frac{1}{x^2} + {}^a \log \frac{1}{x^3} + .... \, \, $ adalah ....
$\spadesuit \, $ Deret aritmetika : $ \, S_n = \frac{n}{2}(2a+(n-1)b) $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $U_1 \, $ dan beda
$ {}^a \log \frac{1}{x} + {}^a \log \frac{1}{x^2} + {}^a \log \frac{1}{x^3} + .... \, \, $
$U_1 = {}^a \log \frac{1}{x} $
$b = U_2-U_1 = {}^a \log \frac{1}{x^2} - {}^a \log \frac{1}{x} = {}^a \log \left( \frac{1}{x} : \frac{1}{x^2} \right) = {}^a \log \frac{1}{x} $
$\spadesuit \, $ Menentukan jumlah 10 suku pertama
$\begin{align} S_{10} & = \frac{10}{2}(2. {}^a \log \frac{1}{x} +9. {}^a \log \frac{1}{x} ) \\ & = 5. \left( 11. {}^a \log \frac{1}{x} \right) \\ & = 55. {}^a \log \frac{1}{x} \\ & = 55{}^a \log (x^{-1}) \\ & = 55. (-1). {}^a \log x \\ S_{10} & = -55 {}^a \log x \end{align}$
Jadi, jumlah 10 suku pertamanya adalah $ -55 {}^a \log x . \heartsuit $
Nomor 19
Kelas A terdiri atas 35 orang murid, sedangkan kelas B terdiri 40 orang murid. Nilai statistika rataa - rata kelas B adalah 5 lebih baik dari nilai rata - rata kelas A. Apabila nilai rata - rata kelas A dan B adalah 57$\frac{2}{3} \, $ , maka nilai rata - rata kelas A adalah .....
$\clubsuit \,$ Misalkan, rata - rata A adalah $a \, $ dan rata - rata B adalah $\, b$
Rata - rata B 5 lebih baik dari A :
$\overline{x}_B = 5 + \overline{x}_A \rightarrow b = 5 + a \, \, $ ...pers(i)
Rata - rata gabungan A dan B
$\begin{align} \overline{x}_{gb} & = \frac{n_A.\overline{x}_A + n_B.\overline{x}_B}{n_A + n_B} \\ 57\frac{2}{3} & = \frac{35a + 40b}{35+40} \\ 35a+40b & = 75 \times \frac{173}{3} \\ 7a + 8b & = 865 \, \, \, \text{...pers(ii)} \end{align}$
$\clubsuit \,$ Substitusi pers(i) ke pers(ii)
$7a + 8b = 865 \rightarrow7a + 8.(5 + a) = 865 \rightarrow a = 55 $
Jadi, rata - rata kelas A adalah 55. $ \heartsuit $
Nomor 20
Untuk $x \, $ dan $y \, $ yang memenuhi sistem persamaan :
$\left\{ \begin{array}{c} 3^{x-2y+1} = 9^{x-2y} \\ 4^{x-y+2} = 32^{x-2y+1} \end{array} \right. $
Maka nilai $x.y= .... $
$\spadesuit \, $ Menyederhanakan persamaan
$\begin{align} \text{pers(1) :} \, \, 3^{x-2y+1} & = 9^{x-2y} \\ 3^{x-2y+1} & = (3^2)^{x-2y} \\ 3^{x-2y+1} & = (3)^{2x-4y} \\ x-2y+1 & = 2x-4y \\ -x+ 2y & = -1 \, \, \text{...pers(i)} \end{align}$ $\begin{align} \text{pers(2) :} \, \, 4^{x-y+2} & = 32^{x-2y+1} \\ (2^2)^{x-y+2} & = (2^5)^{x-2y+1} \\ (2)^{2x-2y+4} & = (2)^{5x-10y+5} \\ 2x-2y+4 & = 5x-10y+5 \\ 3x-8y & = -1 \, \, \text{...pers(ii)} \end{align}$
$\spadesuit \, $ Eliminasi pers(i) dan pers(ii)
$\begin{array}{c|c|cc} -x+ 2y = -1 & \times 3 & -3x+6y = -3 & \\ 3x- 8y = -1 & \times 1 & 3x- 8y = -1 & + \\ \hline & & -2y = -4 \rightarrow y = 2 & \end{array} $
pers(i) : $ -x+ 2y = -1 \rightarrow -x+ 2.2 = -1 \rightarrow x = 5 $
sehingga : nilai $ x.y = 5.2 = 10 $
Jadi, nilai $ x.y = 10 . \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15 16-20 21-25

Tidak ada komentar:

Posting Komentar