Kamis, 16 April 2015

Pembahasan Soal SELMA UM (Universitas Negeri Malang) TKPA Matematika Dasar tahun 2014 kode 141 nomor 6 sampai 10


Nomor 6
Nilai $ x $ yang memenuhi $ \log x = \frac{1}{3} \log 8 + \log 9 - \frac{1}{3} \log 27 \, \, $ adalah ....
$\spadesuit \, $ Sifat dan persamaan logaritma
Sifat : $ n . {}^a \log b = {}^a \log b^n, \, {}^a \log b + {}^a \log c = {}^a \log (b.c) $
$ {}^a \log b - {}^a \log c = {}^a \log \frac{b}{c} $
Persamaan : $ {}^a \log f(x) = {}^a \log g(x) \rightarrow f(x) = g(x) $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ x $
$\begin{align} \log x & = \frac{1}{3} \log 8 + \log 9 - \frac{1}{3} \log 27 \\ \log x & = \log 8^\frac{1}{3} + \log 9 - \log 27^\frac{1}{3} \\ \log x & = \log (2^3)^\frac{1}{3} + \log 9 - \log (3^3)^\frac{1}{3} \\ \log x & = \log 2 + \log 9 - \log 3 \\ \log x & = \log \frac{2.9}{3} \\ \log x & = \log 6 \\ x & = 6 \end{align}$
Jadi, nilai $ x = 6 . \heartsuit $
Nomor 7
Jika $ \left( \begin{matrix} 2 & a \\ 0 & b \end{matrix} \right)A = \left( \begin{matrix} 2 & 3a \\ 0 & 3b \end{matrix} \right), \, $ maka nilai determinan matriks $ A $ adalah ....
$\clubsuit \, $ Konsep matriks
Determinan : $ A = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) \rightarrow Det(A)=|A| = a.d - b.c $
Invers : $ A = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) \rightarrow A^{-1} = \frac{1}{det(A)} \left( \begin{matrix} d & -b \\ -c & a \end{matrix} \right) $
Menentukan matriks lain : $ AX = B \rightarrow X = A^{-1}.B $
$\clubsuit \, $ Menentukan matriks A
$\begin{align} \left( \begin{matrix} 2 & a \\ 0 & b \end{matrix} \right)A & = \left( \begin{matrix} 2 & 3a \\ 0 & 3b \end{matrix} \right) \\ A & = \left( \begin{matrix} 2 & a \\ 0 & b \end{matrix} \right)^{-1} . \left( \begin{matrix} 2 & 3a \\ 0 & 3b \end{matrix} \right) \\ A & = \frac{1}{2b-0.(-a)}\left( \begin{matrix} b & -a \\ 0 & 2 \end{matrix} \right) . \left( \begin{matrix} 2 & 3a \\ 0 & 3b \end{matrix} \right) \\ A & = \frac{1}{2b}\left( \begin{matrix} 2b & 0 \\ 0 & 6b \end{matrix} \right) \\ A & = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 3 \end{matrix} \right) \\ |A| & = 1.3 - 0.0 = 3 \end{align}$
Jadi, nilai determinan matriks A adalah 3. $\heartsuit$

Cara II
$\clubsuit \, $ Sifat determinan : $ |AB| = |A|.|B| $
$\clubsuit \, $ Menentukan determinan matriks A
$\begin{align} \left| \left( \begin{matrix} 2 & a \\ 0 & b \end{matrix} \right)A \right| & = \left| \left( \begin{matrix} 2 & 3a \\ 0 & 3b \end{matrix} \right) \right| \\ \left| \begin{matrix} 2 & a \\ 0 & b \end{matrix} \right| \left| A \right| & = \left| \begin{matrix} 2 & 3a \\ 0 & 3b \end{matrix} \right| \\ (2b-0.a). | A | & = (2.3b - 0. 3a) \\ (2b). | A | & = (6b) \\ |A| & = \frac{6b}{2b} = 3 \end{align}$
Jadi, nilai determinan matriks A adalah 3. $\heartsuit$
Nomor 8
Jika $ f(2x) = \frac{2}{2+x} , x > 0, \, $ maka $ f(1) + f(-1) = .... $
$\spadesuit \, $ Menentukan fungsi $ f(x) $
Misal $ : y = 2x \rightarrow x = \frac{y}{2} $
$\begin{align} f(2x) & = \frac{2}{2+x} \\ f(y) & = \frac{2}{2+\frac{y}{2}} \\ f(y) & = \frac{4}{4 + y} \\ f(x) & = \frac{4}{4 + x} \end{align}$
$\spadesuit \, $ Menyelesaikan soal dengan $ f(x) = \frac{4}{4 + x} $
$\begin{align} f(1) + f(-1) & = \frac{4}{4 + 1} + \frac{4}{4 + (-1)} \\ & = \frac{4}{5} + \frac{4}{3} = \frac{12}{15} + \frac{20}{15} = \frac{32}{15} \end{align}$
Jadi, nilai $ f(1) + f(-1) = \frac{32}{15} . \heartsuit$
Nomor 9
Jika $ a $ dan $ b $ adalah akar-akar persamaan kuadrat $ x^2+ax+b=0 \, $ , maka nilai $ a + b $ adalah ....
$\clubsuit \, $ PK : $ x^2+ax+b=0 \, $ akar-akarnya $ \, x_1=a \, $ dan $ \, x_2=b $
$\clubsuit \, $ Operasi perkalian
$\begin{align} x_1.x_2 & = \frac{c}{a} \\ a.b & = \frac{b}{1} \\ a & = 1 \, \, \text{...pers(i)} \end{align}$
$\clubsuit \, $ Operasi penjumlahan
$\begin{align} x_1+x_2 & = \frac{-b}{a} \\ a+b & = \frac{-a}{1} \\ a+b & = -a \, \, \text{(substitusi nilai a dari pers(i))} \\ 1+b & = -1 \\ b & = -2 \end{align}$
Sehingga nilai $ a + b = 1 + -2 = -1 $
Jadi, nilai $ a+b = -1 .\heartsuit $
Nomor 10
Jika puncak grafik fungsi kuadrat $ f(x) = x^2 - 2(1+c)x + c \, $ terletak pada sumbu X, maka nilai $ 4c-(2+c)^2 \, $ adalah ....
$\spadesuit \, $ FK : $ f(x) = x^2 - 2(1+c)x + c \rightarrow a = 1, b = -2(1+c), c = c $
Karena puncaknya terletak pada sumbu X, artinya parabola menyinggung sumbu X, sehingga syarat parabola menyinggung sumbu X (suatu garis) adalah $ \, D = 0 $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ c \, $ dengan syarat $ D = 0 $
$\begin{align} D = 0 \rightarrow b^2 - 4ac & = 0 \\ [- 2(1+c)]^2 - 4.1.c & = 0 \\ 4(1+c)^2 - 4c & = 0 \\ 4 + 8c + 4c^2 - 4c & = 0 \\ 4c^2 + 4c + 4 & = 0 \\ c^2 + c + 1 & = 0 \\ D = b^2-4ac & = 1^2 - 4.1.1 = -3 \end{align}$
Dari bentuk $ c^2 + c + 1 = 0 \, $ , tidak ada nilai $ c $ bilangan real yang memenuhi karena nilai Diskriminannya negatif ( D < 0 ).
sehingga nilai $ \, 4c-(2+c)^2 \, $ tidak bisa ditentukan hasilnya dalam bialngan real.
Jadi, nilai $ 4c-(2+c)^2 \, $ hasilnya bukan bilangan real, melainkan imajiner. $ \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-14

1 komentar: