Kamis, 23 April 2015

Pembahasan Soal SPMB Matematika IPA tahun 2005 nomor 11 sampai 15


Nomor 11
Suatu populasi hewan mengikuti hukum pertumbuhan yang berbunyi :
$ N(t) = 100.000. 2^{t-2} $
Dengan :
$ N(t) \, $ = besar populasi pada saat $ t $
$ t \, $ = waktu dalam satuan tahun
Agar populasi menjadi 3 kali lipat populasi awal ( saat $ t = 0 $ ), maka $ t = .... $
$\clubsuit \, $ Menentukan populasi awal ( N(0) saat t = 0 )
$\begin{align} t=0 \rightarrow N(t) & = 100.000. 2^{t-2} \\ N(0) & = 100.000. 2^{0-2} \\ N(0) & = 100.000. 2^{-2} \\ N(0) & = \frac{100.000}{4} \\ N(0) & = 25.000 \end{align}$
$\clubsuit \, $ Definisi logaritma : $ {}^a \log b = c \rightarrow a^c = b $
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai $ t $
$\begin{align} \text{populasi} & = \text{3 kali populasi awal} \\ N(t) & = 3 N(0) \\ 100.000. 2^{t-2} & = 3 \times 25.000 \\ 4.2^{t-2} & = 3 \\ 2^2.2^{t-2} & = 3 \\ 2^{2+t-2} & = 3 \\ 2^t & = 3 \\ t & = {}^2 \log 3 \end{align}$
Jadi, nilai $ t = {}^2 \log 3 . \heartsuit $
Nomor 12
Diketahui empat titik A, B, C, dan D yang berada pada lingkaran dengan panjang AB = 4 cm, BC = 3 cm, CD = 3 cm, dan AD = 6 cm. Kosinus sudut BAD = .....
$\spadesuit \, $ Gambar
spmb_mat_ipa_3_2005.png
$\spadesuit \, $ Segiempat ABCD merupakan
segiempat tali busur sehingga jumlah sudut yang berhadapan adalah $ 180^\circ $ .
$ A + C = 180^\circ \rightarrow C = 180^\circ - A $
$ \cos C = \cos ( 180^\circ - A ) \rightarrow \cos C = - \cos A \, \, \, \text{...pers(i)} $
$\spadesuit \, $ Aturan cosinus segitiga BDA
$\begin{align} BD^2 & = AB^2 + AD^2 - 2. AB . AD. \cos A \\ BD^2 & = 4^2 + 6^2 - 2. 4 . 6. \cos A \\ BD^2 & = 52 - 48 \cos A \, \, \, \text{...pers(ii)} \end{align}$
$\spadesuit \, $ Aturan cosinus segitiga BDC dan pers(i)
$\begin{align} BD^2 & = CB^2 + CD^2 - 2. CB . CD. \cos C \\ BD^2 & = 3^2 + 3^2 - 2. 3.3. (-\cos A) \\ BD^2 & = 18 + 18 \cos A \, \, \, \text{...pers(iii)} \end{align}$
$\spadesuit \, $ Menentukan $ \cos A \, $ dari pers(ii) dan pers(iii)
$\begin{align} BD^2 \text{ (pers(ii))} & = BD^2 \text{ (pers(iii))} \\ 52 - 48 \cos A & = 18 + 18 \cos A \\ 66 \cos A & = 34 \\ \cos A & = \frac{34}{66} = \frac{17}{33} \end{align}$
Jadi, nilai $ \cos A = \frac{17}{33} . \heartsuit $
Nomor 13
Jika $ P(x) = x^4 + 5x^3 + 9x^2 + 13x + a \, $ dibagi dengan ($ x+ 3 $ ) bersisa 2, maka $ P(x) $ dibagi ($x+1$) akan bersisa ....
$\spadesuit \, $ Teorema sisa : $ \frac{P(x)}{(x+a)} \rightarrow \text{sisa} \, = P(-a) $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ a $
$ \frac{P(x)}{(x+3)} \rightarrow \text{sisa} \, = P(-3) \rightarrow 2 = P(-3), \, $ substitusi ke $ P(x) $
$\begin{align} P(-3) & = 2 \\ (-3)^4 + 5.(-3)^3 + 9.(-3)^2 + 13.(-3) + a & = 2 \\ 81 - 135 + 81 - 39 + a & = 2 \\ 162 - 174 + a & = 2 \\ -12 + a & = 2 \\ a & = 14 \end{align}$
Sehingga : $ P(x) = x^4 + 5x^3 + 9x^2 + 13x + 14 \, $
$\spadesuit \, $ Menentukan Sisa pembagian
$ \frac{P(x)}{(x+1)} \rightarrow \text{sisa} \, = P(-1) $
$\begin{align} \text{sisa} \, &= P(-1) \\ \text{sisa} \, & = (-1)^4 + 5.(-1)^3 + 9.(-1)^2 + 13.(-1) + 14 \\ \text{sisa} \, & = 1 - 5 + 9 - 13 + 14 \\ \text{sisa} \, & = 6 \end{align}$
Jadi, sisa pembagian $ P(x) \, $ dengan $ (x+1) \, $ adalah 6. $ \heartsuit $
Catatan : Cara lain bisa menggunakan skema Horner.
Nomor 14
Diketahui $ 2\left( {}^4 \log x \right)^2 - 2.{}^4 \log \sqrt{x} = 1. \, $ Jika akar-akar persamaan di atas adalah $ x_1 $ dan $ x_2, \, $ maka $ x_1 + x_2 \, $ adalah .....
$\spadesuit \, $ Sifat Logaritma : $ {}^a \log b^n = n. {}^a \log b $
Definisi : $ {}^a \log b = c \leftrightarrow b = a^c $
$\spadesuit \, $ Misalkan $ p = {}^4 \log x \, $ , Substitusi ke persamaan
$\begin{align} 2\left( {}^4 \log x \right)^2 - 2.{}^4 \log \sqrt{x} & = 1 \\ 2\left( {}^4 \log x \right)^2 - 2.{}^4 \log x^\frac{1}{2} & = 1 \\ 2\left( {}^4 \log x \right)^2 - 2.\frac{1}{2}.{}^4 \log x & = 1 \\ 2\left( {}^4 \log x \right)^2 - ({}^4 \log x) - 1 & = 0 \\ 2p^2 - p -1 & = 0 \\ (2p+1)(p-1) & = 0 \\ p= -\frac{1}{2} \rightarrow {}^4 \log x & = -\frac{1}{2} \rightarrow x_1 = 4^{ -\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \\ p= 1 \rightarrow {}^4 \log x & = 1 \rightarrow x_1 = 4^{ 1} = 4 \end{align}$
Sehingga, $ x_1 + x_2 = \frac{1}{2} + 4 = 4\frac{1}{2} $
Jadi, nilai $ x_1 + x_2 = 4\frac{1}{2} . \heartsuit $
Nomor 15
Sebongkah gula batu dimasukkan ke dalam air dan diaduk. Dalam 1 menit volume gula berkurang 20% dari volume sebelumnya (bukan 20% dari volume awal). Jika volume gula menjadi kurang dari separuh volume awal mulai menit ke ....
$\clubsuit \, $ Menentukan Volume setiap menitnya
misal, Volume awal gula = V
Dalam 1 menit volume berkurang 20% (sisanya 80%) dari sebelumnya
$\begin{align} \text{Menit I bersisa } \, & = 80\% V = 0,8 V \\ \text{Menit II bersisa } \, & = 80\% \text{ sisa I } = 80\%(0,8 V) = 0,64V \\ \text{Menit III bersisa } \, & = 80\% \text{ sisa II } = 80\%(0,64 V) = 0,512V \\ \text{Menit IV bersisa } \, & = 80\% \text{ sisa III } = 80\%(0,512 V) = 0,496V \end{align}$
Jadi, volume gula menjadi kurang dari separuh volume awal mulai menit keempat. $ \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Tidak ada komentar:

Poskan Komentar