Selasa, 19 Mei 2015

Pembahasan Soal SBMPTN Matematika Dasar kode 691 tahun 2014


Nomor 1
Tiga puluh data mempunyai rata-rata $p$. Jika rata-rata 20% data diantaranya adalah $p+0,1$ ; 40% lainnya adalah $p-0,1$ ; 10% lainnya lagi adalah $p-0,5$ dan rata-rata 30% data sisanya adalah $p+q$, maka $q=...$
$\clubsuit \, $ Rumus rata-rata gabungan : $\overline{x}_{gb}=\frac{n_1.\overline{x}_1+n_2.\overline{x}_2+n_3.\overline{x}_3+...}{n_1+n_2+n_3+...}$
$\clubsuit \, $ Data dibagi menjadi 4 kelompok :
$n_1=20\%,\overline{x}_1=p+0,1 ; n_2=40\%, \overline{x}_2=p-0,1 ; \\ n_3=10\%, \overline{x}_3=p-0,5 ; n_4=30\% , \overline{x}_4=p+q ; \overline{x}_{gb}=p$
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai $q$
$\begin{align} \overline{x}_{gb}&=\frac{n_1.\overline{x}_1+n_2.\overline{x}_2+n_3.\overline{x}_3+n_4.\overline{x}_4}{n_1+n_2+n_3+n_4} \\ p&=\frac{20\%.(p+0,1)+40\%.(p-0,1)+10\%.(p-0,5)+30\%.(p+q)}{20\%+40\%+10\%+30\%} \\ p&=\frac{0,2p+0,02+0,4p-0,04+0,1p-0,05+0,3p+0,3q}{100\%} \\ \not{p}&=\frac{\not{p}-0,07+0,3q}{1} \\ q&=\frac{0,07}{0,3}=\frac{7}{30} \end{align}$
Jadi, $q=\frac{7}{30}. \heartsuit $
Nomor 2
Jika $ p = ({}^a \log 2) \left( {}^{a^2b} \log 4 \right) , \, $ maka $ \frac{1}{p} = .... $
$\spadesuit \, $ Konsep logaritma:
sifat(1) : $ {}^a \log b + {}^a \log c = {}^a \log (bc) $
sifat(2) : $ {}^a \log b^n = n. {}^a \log b , \, $ dan
sifat(3) : $ \frac{1}{{}^b \log a } = {}^a \log b $
$\spadesuit \, $ Menentukan $ \frac{1}{p} $
$\begin{align} p & = ({}^a \log 2) \left( {}^{a^2b} \log 4 \right) \\ p & = ({}^a \log 2) \left( {}^{a^2b} \log 2^2 \right) \, \, \, \text{[sifat(2)]} \\ p & = ({}^a \log 2) .2. \left( {}^{a^2b} \log 2 \right) \\ \frac{1}{p} & = \frac{1}{({}^a \log 2). 2. \left( {}^{a^2b} \log 2 \right)} \, \, \, \text{[sifat(3)]} \\ \frac{1}{p} & = \frac{1}{2} . {}^2 \log a . {}^2 \log a^2b \, \, \, \text{[sifat(1)]} \\ \frac{1}{p} & = \frac{1}{2} {}^2 \log a \left( {}^2 \log a^2 + {}^2 \log b \right) \, \, \, \text{[sifat(2)]} \\ \frac{1}{p} & = \frac{1}{2} {}^2 \log a \left( 2.{}^2 \log a + {}^2 \log b \right) \, \, \, \text{[kalikan]} \\ \frac{1}{p} & = \frac{1}{2} {}^2 \log a . 2.{}^2 \log a + \frac{1}{2} . {}^2 \log a .{}^2 \log b \\ \frac{1}{p} & = \left( {}^2 \log a \right)^2 + \frac{1}{2} . {}^2 \log a . {}^2 \log b \end{align}$
Jadi, nilai $ \frac{1}{p} = \left( {}^2 \log a \right)^2 + \frac{1}{2} . {}^2 \log a . {}^2 \log b . \heartsuit $
Nomor 3
Fungsi kuadrat $ f(x) = x^2 + 2px + p \, $ mempunyai nilai minimum $ -p \, $ dengan $ p \neq 0 . \, $ Jika sumbu simetri kurva $ f \, $ adalah $ x = a, \, $ maka nilai $ a + f(a) = .... $
$\clubsuit \, $ Fungsi $ f(x) = x^2 + 2px + p \, $ dengan sumbu simetri $ x = a , $
artinya $ x_p = a \, $ dengan rumus $ x_p = \frac{-b}{2a} $
$\begin{align} x_p & = a \\ \frac{-b}{2a} & = a \\ \frac{-2p}{2.1} & = a \\ a & = -p \end{align} $
$\clubsuit \, $ Parabola mempunyai nilai minimum $ -p \, $ dan sumbu simetri $ x = a = -p \, $ artinya parabola mempunyai titik puncak $ (x_p,y_p)=(a,-p) = (-p,-p) \, \, \, \, $ atau fungsi minimum pada saat $ x = a \, $ dengan $ f(a) = -p \, $ . Substitusi titik puncak ke fungsi kuadratnya :
$\begin{align} (x_p,y_p) = (-p, -p ) \rightarrow f(x) & = x^2 + 2px + p \\ -p & = (-p)^2 + 2p.(-p) + p \\ -p & = p^2 -2p^2 + p \\ p^2 -2p & = 0 \\ p(p-2) & = 0 \\ p=0 \vee p & = 2 \end{align} $
Karena $ p \neq 0 , \, $ maka yang memenuhi nilai $ p = 2 \, $.
diperoleh nilai $ a = -p = - 2 \, $ dan $ f(a) = -p = -2 $
Sehingga nilai $ a + f(a) = -2 + (-2) = -4 $
Jadi, nilai $ a + f(a) = -4 . \heartsuit $
Nomor 4
Seorang penjahit akan membuat 2 model pakaian. Dia mempunyai persediaan kain batik 40 meter dan kain polos 15 meter. Model A memerlukan 1 meter kain batik dan 1,5 meter kain polos, sedang model B memerlukan 2 meter kain batik dan 0,5 meter kain polos. Maksimum banyak pakaian yang mungkin dapat dibuat adalah ...
$\spadesuit \, $ Model matematika yang terbentuk adalah :
fungsi tujuannya : $f(x,y)=x+y $
Fungsi kendala:
$x+2y \leq 40 $ dan $1,5x+0,5y \leq 15 \Leftrightarrow 3x+y \leq 30 , x\geq 0 , y \geq 0$
$\spadesuit \, $ Menentukan titik potong pers. kendala terhadap sumbu $X$ dan sumbu $Y$ :
$x+2y \leq 40 \Rightarrow (0,20) \, \text{titik pojok} \, \text{dan} \, (40,0) \, \text{bukan titik pojok} $
$3x+y \leq 30 \Rightarrow (0,30) \, \text{bukan titik pojok} \, \text{dan} \, (10,0) \, \text{titik pojok} $

NOTE : disebut titik pojok jika titik tersebut memenuhi semua pertidaksamaan.

$\spadesuit \, $ Menentukan titik potong kedua pertidaksamaan :
Eliminasi persamaan $x+2y = 40 $ dan $3x+y = 30$ diperoleh $x=4,y=18$, sehingga titik potongnya (4,18)
$\spadesuit \, $ Substitusi semua titik pojoknya ke fungsi tujuannya :
$(0,20) \Rightarrow f(0,20)=0+20=20 $
$(10,0) \Rightarrow f(10,0)=10+0=10 $
$(4,18) \Rightarrow f(4,18)=4+18=22 $
Jadi, nilai maksimumnya adalah 22 .$ \heartsuit $

Cara II : Memodifikasi fungsi kendala sehingga jika dioperasikan bentuknya akan sama dengan fungsi tujuan yang ditanyakan.
$\spadesuit \, $ Model matematika yang terbentuk adalah :
fungsi tujuannya : $f(x,y)=x+y $
Fungsi kendala:
$x+2y \leq 40 $ dan $1,5x+0,5y \leq 15 \Leftrightarrow 3x+y \leq 30 , x\geq 0 , y \geq 0$
$\spadesuit \, $ Memodifikasi fungsi kendalanya
$\begin{array}{c|c|cc} x+2y \leq 40 & \times 2 & 2x + 4y \leq 80 & \\ 3x+y \leq 30 & \times 1 & 3x+y \leq 30 & + \\ \hline & & 5x + 5y \leq 110 & \\ & & x + y \leq 22 & \end{array} $
Dari bentuk $ x + y \leq 22, \, $ artinya nilai maksimum dari $ x + y \, $ adalah 22, dan ini sama dengan fungsi tujuan yang ditanyakan.
Jadi, nilai maksimumnya adalah 22 .$ \heartsuit $
Nomor 5
Untuk $ 0 < a < 10 \, $ , fungsi kuadrat $ f(x) = ax^2 + 2ax + 10 \, $ memenuhi sifat ....
(A) selalu negatif
(B) selalu positif
(C) hanya positif di setiap $ x , \, $ dengan $ 0 < x < 10 $
(D) hanya negatif di setiap $ x , \, $ dengan $ 0 < x < 10 $
(E) hanya positif di setiap $ x , \, $ dengan $ x < 0 \, $ atau $ x > 10 $
$\clubsuit \, $ Konsep Definit pada fungsi kuadrat (FK)
Definit positif artinya fungsi selalu bernilai positif untuk semua $ x $
Definit negatif artinya fungsi selalu bernilai negatif untuk semua $ x $
Syarat Definit positif : $ a > 0 \, $ dan $ D < 0 $
Syarat Definit negatif : $ a < 0 \, $ dan $ D < 0 $
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai Diskriminannya ($ D $)
fungsi $ f(x) = ax^2 + 2ax + 10 \, $ dengan $ 0 < a < 10 $
$\begin{align} D & = b^2 - 4ac \\ & = (2a)^2 - 4.a.10 \\ & = 4a^2 - 40a \\ D & = 4a(a - 10 ) \\ \text{untuk } 0 < a < 10 \rightarrow D & = \underbrace{4a}_{\text{nilai} \, + } . \underbrace{(a - 10 )}_{\text{nilai} \, - } \\ D & < 0 \, \, \, \text{(positif kali negatif = negatif)} \end{align}$
Karena nilai $ a > 0 \, $ dan $ D < 0 , \, $ maka fungsi kuadratnya adalah definit positif yang artinya fungsi selalu bernilai positif.
Jadi, FK memenuhi sifat selalu positif. $ \heartsuit$
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Tidak ada komentar:

Posting Komentar