Rabu, 27 Mei 2015

Pembahasan Soal SBMPTN Matematika Dasar kode 663 tahun 2014 nomor 11 sampai 15


Nomor 11
Diketahui $ m \, $ dan $ n \, $ akar-akar persamaan $ ax^2 + bx + c = 0 . \, $ Jika $ m+2 \, $ dan $ n + 2 \, $ akar-akar persamaan kuadrat $ ax^2 + qx + r = 0, \, $ maka $ q + r = .... $
$\spadesuit \, $ PKI : $ ax^2 + bx + c = 0 \, $ akar-akarnya $ m \, $ dan $ n $
Operasi akar-akar : $ m + n = \frac{-b}{a} \, $ dan $ m.n = \frac{c}{a} $
$\spadesuit \, $ PKII : $ ax^2 + qx + r = 0 \, $ akar-akarnya $ x_1 = m+2 \, $ dan $ x_2 = n + 2 $
Operasi penjumlahan :
$\begin{align} x_1 + x_2 & = \frac{-q}{a} \\ (m+2) + (n+2) & = \frac{-q}{a} \\ (m+n) + 4 & = \frac{-q}{a} \\ (\frac{-b}{a}) + 4 & = \frac{-q}{a} \, \, \, \text{(kali } \, -a \, ) \\ b - 4a & = q \, \text{ atau } \, q = b-4a \end{align}$
Operasi perkalian :
$\begin{align} x_1 . x_2 & = \frac{r}{a} \\ (m+2) . (n+2) & = \frac{r}{a} \\ m.n+2(m+n) + 4 & = \frac{r}{a} \\ \frac{c}{a} + 2.(\frac{-b}{a}) + 4 & = \frac{r}{a} \, \, \, \text{(kali } \, a \, ) \\ c -2b + 4a & = r \, \text{ atau } \, r = c -2b + 4a \end{align}$
Sehingga nilai : $ q + r = (b-4a)+(c-2b+4a) = c - b $
Jadi, nilai $ q + r = c - b . \heartsuit $
Nomor 12
Jika jumlah dua bilangan positif yang berbeda adalah $ a \, $ dan selisihnya adalah $ \frac{1}{n} \, $ dari bilangan yang terbesar, maka bilangan terkecilnya adalah .....
$\clubsuit \, $ Misalkan bilangannya : $ x \, $ dan $ y \, $ dengan $ x > y \, $ artinya $ y \, $ adalah bilangan terkecilnya
Jumlahnya : $ x + y = a \rightarrow x = a - y \, $ ....pers(i)
Selisih : $ x - y = \frac{1}{n} x \, $ ....pers(ii)
$\clubsuit \, $ Substitusi pers(i) ke pers(ii)
$\begin{align} x - y & = \frac{1}{n} x \\ (a - y) - y & = \frac{1}{n} .(a - y) \\ a - 2y & = \frac{a-y}{n} \, \, \, \text{ (kali } \, n ) \\ an-2ny & = a-y \\ 2ny - y & = an - a \\ (2n-1)y & = a(n-1) \\ y & = \frac{a(n-1)}{2n-1} \end{align}$
Jadi, bilangan terkecilnya adalah $ \frac{a(n-1)}{2n-1} . \heartsuit $
Nomor 13
Tiga puluh data mempunyai rata-rata $p$. Jika rata-rata 20% data diantaranya adalah $p+0,1$ ; 40% lainnya adalah $p-0,1$ ; 10% lainnya lagi adalah $p-0,5$ dan rata-rata 30% data sisanya adalah $p+q$, maka $q=...$
$\spadesuit \, $ Rumus rata-rata gabungan : $\overline{x}_{gb}=\frac{n_1.\overline{x}_1+n_2.\overline{x}_2+n_3.\overline{x}_3+...}{n_1+n_2+n_3+...}$
$\spadesuit \, $ Data dibagi menjadi 4 kelompok :
$n_1=20\%,\overline{x}_1=p+0,1 ; n_2=40\%, \overline{x}_2=p-0,1 ; \\ n_3=10\%, \overline{x}_3=p-0,5 ; n_4=30\% , \overline{x}_4=p+q ; \overline{x}_{gb}=p$
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai $q$
$\begin{align} \overline{x}_{gb}&=\frac{n_1.\overline{x}_1+n_2.\overline{x}_2+n_3.\overline{x}_3+n_4.\overline{x}_4}{n_1+n_2+n_3+n_4} \\ p&=\frac{20\%.(p+0,1)+40\%.(p-0,1)+10\%.(p-0,5)+30\%.(p+q)}{20\%+40\%+10\%+30\%} \\ p&=\frac{0,2p+0,02+0,4p-0,04+0,1p-0,05+0,3p+0,3q}{100\%} \\ \not{p}&=\frac{\not{p}-0,07+0,3q}{1} \\ q&=\frac{0,07}{0,3}=\frac{7}{30} \end{align}$
Jadi, $q=\frac{7}{30}. \heartsuit $
Nomor 14
Jika $ {}^{p^2 + 4} \log 2 = \frac{{}^3 \log 5}{{}^2 \log 5 . {}^3 \log 8} , \, $ dengan $ p > 0 \, $ maka $ p + {}^{p^2 } \log 16 = .... $
$\clubsuit \, $ Sifat logaritma
$ \frac{1}{{}^b \log a} = {}^a \log b $
$ {}^a \log b . {}^b \log c = {}^a \log c $
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai $ p $
$\begin{align} {}^{p^2 + 4} \log 2 & = \frac{{}^3 \log 5}{{}^2 \log 5 . {}^3 \log 8} \\ {}^{p^2 + 4} \log 2 & = {}^8 \log 3 . {}^3 \log 5 . {}^5 \log 2 \\ {}^{p^2 + 4} \log 2 & = {}^8 \log 2 \\ p^2 + 4 & = 8 \\ p^2 & = 4 \\ p & = \pm 2 \end{align} $
karena $ p > 0 \, $ , maka $ p = 2 \, $ yang memenuhi.
$\clubsuit \, $ Menentukan hasilnya
$\begin{align} p + {}^{p^2 } \log 16 & = 2 + {}^{2^2 } \log 16 \\ & = 2 + {}^{4 } \log 16 \\ & = 2 + 2 \\ & = 4 \end{align} $
Jadi, nilai $ p + {}^{p^2 } \log 16 = 4 . \heartsuit $
Nomor 15
Jika $ a \, $ dan $ b \, $ akar-akar persamaan kuadrat $ x^2 + x - 3 = 0 , \, $ maka $ 2a^2 + b^2 + a = .... $
$\clubsuit \, $ PK : $ x^2 + x - 3 = 0 , \, $ dengan akar-akar $ a \, $ dan $ b $
Operasi akar-akar : $ a + b = \frac{-1}{1} = -1 \, $ dan $ ab = \frac{-3}{1} = -3 $
$\clubsuit \, $ Karena $ a \, $ adalah akar, maka $ a $ memenuhi PK
$\begin{align} x = a \rightarrow x^2 + x - 3 & = 0 \\ a^2 + a - 3 & = 0 \\ a^2 + a & = 3 \, \, \, \, \text{...pers(i)} \end{align} $
$\clubsuit \, $ Menentukan hasilnya
$\begin{align} 2a^2 + b^2 + a & = a^2 + a^2 + b^2 + a \\ & = (a^2 + + b^2) + a^2 + a \\ & = ((a+b)^2 - 2ab) + (a^2 + a) \, \, \text{[dari pers(i)]} \\ & = ((-1)^2 - 2.(-3)) + (3) \\ & = (1 + 6 ) + 3 \\ & = 10 \end{align} $
Jadi, nilai $ 2a^2 + b^2 + a = 10 . \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Tidak ada komentar:

Posting Komentar