Rabu, 24 Juni 2015

Pembahasan Soal SPMK UB Matematika IPA Kode 81 tahun 2008


Nomor 1
Siswa kelas A mempunyai nilai rata-rata 65. 25 siswa kelas B mempunyai nilai rata-rata 70. Jika nilai dari 35 siswa kelas C digabung dengan siswa kelas A dan siswa kelas B maka nilai rata-rata dari 100 siswa adalah 68. Nilai rata-rata 35 siswa kelas C adalah ....
$\spadesuit \, $ Konsep rata-rata gabungan
$ \overline{X}_\text{gb} = \frac{n_A.\overline{X}_\text{A}+n_B.\overline{X}_\text{B}+n_C.\overline{X}_\text{C}}{n_A+n_B+n_C} $
Keterangan :
$ \overline{X}_\text{gb} \, $ = rata-rata gabungan semua kelompok
$ \overline{X}_\text{A} \, $ = rata-rata kelompok A (siswa kelas A)
$ n_A \, $ = banyak anggota kelompok A (banyak siswa kelas A)
yang lainnya sejenis dengan keterangan di atas.
$\spadesuit \, $ Pada soal diketahui :
$ n_B = 25, \, \overline{X}_\text{B} = 70, \, n_C = 35 , \, \overline{X}_\text{C} = p , $
$ \overline{X}_\text{A}=65, \, \overline{X}_\text{gb} = 68 $
$ n_A+n_B+n_C = 100 \rightarrow n_A+25+35=100 \rightarrow n_A=40 $
$\spadesuit \, $ Menentukan rata-rata kelas C ( $ \overline{X}_\text{C} $ )
$\begin{align} \overline{X}_\text{gb} & = \frac{n_A.\overline{X}_\text{A}+n_B.\overline{X}_\text{B}+n_C.\overline{X}_\text{C}}{n_A+n_B+n_C} \\ 68 & = \frac{40.65+25.70+35.p}{100} \\ 6800 & = 2600+1750+35p \\ 6800 & = 4350+35p \\ 35p & = 6800-4350 = 2450 \\ p & = \frac{2450}{35} = 70 \end{align}$
Jadi, rata-rata kelas C adalah 70. $ \heartsuit $
Nomor 2
Diketahui $ f(x) = 2x+1 \, $ dan $ (g \circ f)(x)=4x-5 \, $ , maka $ g(x-1) = .... $
$\clubsuit \,$ Menentukan fungsi $ g(x) $
$\begin{align} (g \circ f)(x) & =4x-5 \\ g ( f(x) ) & =4x-5 \\ g ( 2x+1 ) & =4x-5 \\ \text{misalkan : } & p = 2x+1 \rightarrow x = \frac{p-1}{2} \\ g ( 2x+1 ) & =4x-5 \\ g ( p) & =4\left( \frac{p-1}{2} \right) -5 \\ g ( p) & =2p-2-5 \\ g ( p) & =2p-7 \end{align}$
sehingga fungsinya : $ g(x) = 2x-7 $
$\clubsuit \,$ Menentukan fungsi $ g(x-1) $
$\begin{align} g(x) & = 2x-7 \\ g(x-1) & = 2(x-1)-7 \\ g(x-1) & = 2x-2-7 \\ g(x-1) & = 2x-9 \end{align}$
Jadi, diperoleh $ g(x-1) = 2x-9 . \heartsuit $

Cara II :
$\clubsuit \,$ Menentukan fungsi $ g(x-1) $
$\begin{align} (g \circ f)(x) & =4x-5 \\ g ( f(x) ) & =4x-5 \\ g ( 2x+1 ) & =4x-5 \\ \text{ substi. } x= \frac{1}{2}p-1 \rightarrow g ( 2x+1 ) & =4x-5 \\ g ( 2(\frac{1}{2}p-1)+1 ) & =4(\frac{1}{2}p-1)-5 \\ g ( p-2+1 ) & =2p-4-5 \\ g ( p-1 ) & =2p-9 \end{align}$
sehingga fungsinya : $ g(x-1) = 2x-9 $
Jadi, diperoleh $ g(x-1) = 2x-9 . \heartsuit $
Nomor 3
Nilai maksimum dari fungsi $ {}^4 \log (x+5) + {}^4 \log (3-x) \, $ adalah .....
$\spadesuit \, $ Konsep dasar
Logaritma : $ {}^a \log b + {}^a \log c = {}^a \log (bc) $
FK : $ g(x) = ax^2 + bx + c \rightarrow g_\text{maks} = \frac{D}{-4a} = \frac{b^2-4ac}{-4a} $
$\spadesuit \, $ Menyederhanakan soal
$\begin{align} y & = {}^4 \log (x+5) + {}^4 \log (3-x) \\ y & = {}^4 \log [(x+5).(3-x) ] \\ y & = {}^4 \log (-x^2-2x+15) \end{align}$
$\spadesuit \, $ Agar nilai $ y = {}^4 \log (-x^2-2x+15) \, $ maksimum, maka nilai $ (-x^2-2x+15) \, $ juga harus maksimum. Misal $ g(x) = -x^2-2x+15 \rightarrow a = -1, \, b = -2, \, c = 15 $
$\begin{align} g_\text{maks} & = \frac{b^2-4ac}{-4a} \\ g_\text{maks} & = \frac{(-2)^2-4.(-1).15}{-4.(-1)} = \frac{4+60}{4}= \frac{64}{4} =16 \end{align}$
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai maksimum soalnya
$\begin{align} y & = {}^4 \log (-x^2-2x+15) \\ y_\text{maks} & = {}^4 \log g_\text{maks} \\ y_\text{maks} & = {}^4 \log 16 \\ y_\text{maks} & = 2 \end{align}$
Jadi, nilai maksimumnya adalah 2. $ \heartsuit $
Nomor 4
Dengan kenaikan harga BBM 30% sedangkan semua yang lain dianggap harganya tetap, pengeluaran bensin adalah 13% dari pendapatan. Pengeluaran bensin sebelum kenaikan adalah ..... dari pendapatan
$\clubsuit \,$ Permisalan
$ p \, $ = pendapatan total.
$ a \, $ = persentase pengeluaran bensin awal dari pendapatan
$ y \, $ = besarnya pengeluaran bensin awal = $ a.p = ap $
$ y_b \, $ = besarnya pengeluaran bensin setelah adanya kenaikkan
$\clubsuit \,$ BBM naik 30%
$\begin{align} y_b & = y + 30\% y \\ y_b & = 100\% y + 30\% y \\ y_b & = 130\% y \\ y_b & = 130\% ap \, \, \, \, \text{....(i)} \end{align}$
$\clubsuit \,$ Pengeluaran bensin setelah adanya kenaikkan 13% dari pendapatan
$ y_b = 13\% p \, \, \, \, \text{....(ii)} $
$\clubsuit \,$ Menentukan nilai $ a \, $ dari bentuk (i) dan (ii)
$\begin{align} \text{pers(i)} & = \text{pers(ii)} \\ 130\% ap & = 13\% p \\ a & = \frac{13\% p}{130\% p} \\ a & = \frac{1}{10} \\ a & = \frac{1}{10} . 100\% = 10\% \end{align}$
diperoleh nilai $ a = 10 \% \, $ , artinya persentase pengeluaran bensin awal dari pendapatan adalah 10% .
Jadi, pengeluaran bensil awal 10% dari pendapatan . $ \heartsuit $
Nomor 5
Garis singgung kurva $ f(x)=x+2\sqrt{x} \, $ di titik (4,8) memotong sumbu X dan sumbu Y masing-masing di titik $ (a,0) \, $ dan $ (0,b) \, $ . Nilai $ a + b = ..... $
$\spadesuit \, $ Konsep persamaan garis singgung (PGS)
PGS di titik $(x_1,y_1) \, $ adalah $ y-y_1 = m(x-x_1) \, $ ,
dengan $ m =f^\prime (x_1) $
$\spadesuit \, $ Menentukan turunan dan gradien di titik $ (x_1,y_1) = (4,8) $
$\begin{align} f(x) & = x+2\sqrt{x} = x + 2 x^\frac{1}{2} \\ f^\prime (x) & = 1 + \frac{1}{2}. 2 . x^{-\frac{1}{2}} \\ f^\prime (x) & = 1 + \frac{1}{\sqrt{x}} \\ m & = f^\prime (x_1) = f^\prime (4) \\ m & = 1 + \frac{1}{\sqrt{4}} = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \end{align}$
$\spadesuit \, $ Menentukan PGS di $ (x_1,y_1) = (4,8) \, $ dan $ m = \frac{3}{2} $
$\begin{align} y-y_1 & = m(x-x_1) \\ y-8 & = \frac{3}{2}(x-4) \\ y-8 & = \frac{3}{2}x-6 \\ y & = \frac{3}{2}x +2 \end{align}$
diperoleh PGS nya : $ y = \frac{3}{2}x +2 $
$\spadesuit \, $ Menentukan titik potong (tipot) sumbu-sumbu
*) tipot sumbu X : substitusi $ y = 0 $
$ y = \frac{3}{2}x +2 \rightarrow 0 = \frac{3}{2}x +2 \rightarrow x = -\frac{4}{3} $
sehingga titik $ (a,0) = (-\frac{4}{3},0) \, $ , artinya $ a = -\frac{4}{3} $
*) tipot sumbu Y : substitusi $ x = 0 $
$ y = \frac{3}{2}x +2 \rightarrow y = \frac{3}{2}.0 +2 \rightarrow y = 2 $
sehingga titik $ (0,b) = (0,2) \, $ , artinya $ b = 2 $
Nilai $ a + b = -\frac{4}{3} + 2 = \frac{3}{2} $
Jadi, nilai $ a + b = \frac{3}{2} . \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Tidak ada komentar:

Posting Komentar