Sabtu, 04 Juli 2015

Pembahasan Soal SBMPTN Matematika Dasar kode 328 tahun 2013


Nomor 1
Jika $9^m+9^{m+1} = 20 \, $ , maka $27^m = ...$
$\clubsuit \, $ Menyederhanakan persamaan: Sifat $a^{m+n}=a^m.a^n$
$\begin{align} 9^m+9^{m+1} & = 20 \\ 9^m+9^m.9^1 & = 20 \\ 9^m+9.9^m & = 20 \\ (1+9)9^m & = 20 \\ 10.(3^2)^m & = 20 \, \, \, \, \text{(bagi 10)} \\ (3^m)^2 & = 2 \\ 3^m & = \sqrt{2} \end{align}$
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai $27^m$
$\begin{align} 27^m & = (3^3)^m \\ &= (3^m)^3 \\ &= (\sqrt{2})^3 \\ &= \sqrt{2} .\sqrt{2} .\sqrt{2} \\ &= 2\sqrt{2} \end{align}$
Jadi, $27^m = 2\sqrt{2}. \, \heartsuit $
Nomor 2
Jika $ \frac{\log xy }{\log w } = 2 $ dan $ \frac{\log w }{\log y } = \frac{1}{4} $ , maka nilai $ {}^{x}\log w \, $ adalah ...
$\spadesuit \, $ Konsep logaritma
Sifat-sifat logaritma :
1). $ \frac{{}^p \log b }{{}^p \log a } = {}^ a \log b $
2). $ {}^a \log b = \frac{1}{{}^b \log a } $
3). $ {}^a \log (bc) = {}^a \log b + {}^a \log c $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ {}^w \log y $
$\begin{align} \frac{\log w }{\log y } & = \frac{1}{4} \, \, \, \, \text{(sifat 1)} \\ {}^y \log w & = \frac{1}{4} \, \, \, \, \text{(sifat 2)} \\ {}^w \log y & = \frac{4}{1} = 4 \end{align} $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ {}^x \log w $
$\begin{align} \frac{\log xy }{\log w } & = 2 \, \, \, \, \text{(sifat 1)} \\ {}^w \log xy & = 2 \, \, \, \, \text{(sifat 3)} \\ {}^w \log x + {}^w \log y & = 2 \\ {}^w \log x + 4 & = 2 \\ {}^w \log x & = 2 - 4 = -2 \, \, \, \, \text{(sifat 2)} \\ {}^x \log w & = \frac{1}{-2} = - \frac{1}{2} \end{align} $
Jadi, nilai $ {}^x \log w = - \frac{1}{2} . \heartsuit $
Nomor 3
Persamaan kuadrat $ x^2 - (c+3)x + 9 = 0 \, $ mempunyai akar-akar $ x_1 \, $ dan $ x_2 \, $ . Jika $ x_1 < -2 \, $ dan $ x_2 < -2 , \, $ maka .....
(A) $ c < -\frac{19}{2} \, $ atau $ c > -9 $
(B) $ -\frac{19}{2} < c \leq -9 $
(C) $ -\frac{19}{2} < c \leq -7 $
(D) $ -9 < c < 3 $
(E) $ c > 3 $
$\clubsuit \, $ PK : $ x^2 - (c+3)x + 9 = 0 \, \rightarrow a = 1 , \, b = -(c+3) , \, c = 9 $
Operasi akar-akar :
$ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} = \frac{-(-(c+3))}{1} = c + 3 $
$ x_1.x_2 = \frac{c}{a} = \frac{9}{1} = 9 $
$\clubsuit \, $ Modifikasi akar-akarnya : $ x_1 < -2 \, $ dan $ x_2 < -2 $
$ x_1 < -2 \rightarrow x_1+2 < 0 \, $ (negatif)
$ x_2 < -2 \rightarrow x_2+2 < 0 \, $ (negatif)
$\clubsuit \, $ Jumlahkan keduanya, hasilnya juga negatif
$\begin{align} (x_1+2)+(x_2+2) & < 0 \, \, \, \, \, \text{ (negatif)} \\ x_1 + x_2 + 4 & < 0 \\ (c + 3) + 4 & < 0 \\ c & < -7 \, \, \, \, \, \text{ ....(HP1)} \end{align}$
$\clubsuit \, $ Kalikan keduanya, hasilnya juga positif (negatif kali negatif)
$\begin{align} (x_1+2)(x_2+2) & > 0 \, \, \, \, \, \text{ (positif)} \\ x_1.x_2 + 2(x_1+x_2) + 4 & > 0 \\ (9) + 2(c+3) + 4 & > 0 \\ 2c + 19 & > 0 \\ c & > -\frac{19}{2} \, \, \, \, \, \text{ ....(HP2)} \end{align}$
$\clubsuit \, $ Karena akar-akarnya $ x_1 < -2 \, $ dan $ x_2 < -2 \, $ , maka akar-akarnya bisa berbeda atau bisa juga sama (kembar), sehinggga syaratnya : $ D \geq 0 $
$\begin{align} D = b^2 - 4ac & \geq 0 \\ (-(c+3))^2 - 4.1.(9) & \geq 0 \\ c^2+6c + 9 - 36 & \geq 0 \\ c^2 + 6c - 27 & \geq 0 \\ (c-3)(c+9) & = 0 \\ c = 3 \vee c & = -9 \end{align}$
sbmptn_matdas_k328_1_2013.png
HP3 = $ \{ c \leq -9 \vee c \geq 3 \} $
Solusinya harus memenuhi ketiganya, yaitu irisannya.
Solusi : $ HP = HP1 \cap HP2 \cap HP3 = \{ -\frac{19}{2} < c \leq -9 \} $
Jadi, solusinya HP $ = \{ -\frac{19}{2} < c \leq -9 \} . \heartsuit $
Nomor 4
Jika grafik fungsi kuadrat $f(x)=ax^2+bx+c$ mempunyai titik puncak (8,4) dan memotong sumbu-X negatif, maka ...
$\spadesuit \, $ Titik puncak fungsi (8,4) , artinya puncaknya ada pada kuadran I.
$\spadesuit \, $ kurva memotong sumbu X negatif. berdasarkan dua pernyataan di atas, maka gambarnya adalah :
sbmptn_matdas_k328_2_2013.png
$\spadesuit \, $ Kurva maksimum (puncak di atas) , maka nilai $a < 0$ .
$\spadesuit \, $ Kurva memotong sumbu Y positif, artinya nilai $ c > 0 $ .
$\spadesuit \, $ Titik puncak ada di kanan sumbu Y, berarti berlaku BeKa (beda kanan) artinya tanda $a$ dan $b$ tidak sama (harus berbeda). Karena $a < 0$ , maka nilai $b$ harus $b >0 $ .
Jadi, diperoleh $a < 0 , b > 0 , c > 0. \heartsuit $
Nomor 5
Ibu mendapat potongan harga sebesar 25% dari total pembelian darang di suatu toko. Toko tersebut membebankan pajak sebesar 10% dari harga total pembelian setelah dipotong. Jika $x$ adalah harga total pembelian, maka ibu harus membayar sebesar ...
$\clubsuit \, $ Misalkan $x$ adalah total pembelian barang sebelum kena diskon dan pajak.
$\clubsuit \, $ Potongan 25%
yang harus dibayar adalah 75%$x$
$\clubsuit \, $ kena pajak 10% setelah dipotong
besar pajak = $10\% . 75\% x$
$\clubsuit \, $ Total yang harus dibayar :
$\begin{align} \text{Total} \, & = 75\% x + 10\% . 75\% x \\ & = (1+10\% ) . 75\% x \\ &= (1+0,1) . 0,75 x \\ &= (1,1). 0,75 x \end{align}$
Jadi, ibu harus membayar sebesar $(1,1\times 0,75) x. \heartsuit$
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Tidak ada komentar:

Poskan Komentar