Soal yang Akan Dibahas
Fungsi $ f(x) = \sec ^2 x - \tan x \sec x $ untuk $ 0 < x < 2\pi , \, x \neq \frac{\pi}{2} $ dan
$ x \neq \frac{3\pi}{2} $ naik pada interval ....
A). $ 0 < x < 90^\circ \vee 90^\circ < x < 180^\circ \, $
B). $ 0 < x < 90^\circ \vee 270^\circ < x < 360^\circ \, $
C). $ 90^\circ < x < 180^\circ \, $
D). $ 90^\circ < x < 270^\circ \, $
E). $ 90^\circ < x < 300^\circ \, $
A). $ 0 < x < 90^\circ \vee 90^\circ < x < 180^\circ \, $
B). $ 0 < x < 90^\circ \vee 270^\circ < x < 360^\circ \, $
C). $ 90^\circ < x < 180^\circ \, $
D). $ 90^\circ < x < 270^\circ \, $
E). $ 90^\circ < x < 300^\circ \, $
$\spadesuit $ Konsep Dasar Trigonometri
*). Rumus Dasar pada Trigonometri
$ \tan A = \frac{\sin A}{\cos A} \, $ dan $ \sec x = \frac{1}{\cos x} $
$ \begin{align} \sin ^2 A + \cos ^2 A = 1 \rightarrow \cos ^2 x & = 1 - \sin ^2 x \\ & = (1 - \sin x )(1 + \sin x) \end{align} $.
*). Syarat fungsi $ y = f(x) $ naik : $ f^\prime (x) > 0 $
*). Turunan bentuk $ y = [f(x)]^n \rightarrow y^\prime = n[f(x)]^{n-1} . f^\prime (x) $.
*). Rumus Dasar pada Trigonometri
$ \tan A = \frac{\sin A}{\cos A} \, $ dan $ \sec x = \frac{1}{\cos x} $
$ \begin{align} \sin ^2 A + \cos ^2 A = 1 \rightarrow \cos ^2 x & = 1 - \sin ^2 x \\ & = (1 - \sin x )(1 + \sin x) \end{align} $.
*). Syarat fungsi $ y = f(x) $ naik : $ f^\prime (x) > 0 $
*). Turunan bentuk $ y = [f(x)]^n \rightarrow y^\prime = n[f(x)]^{n-1} . f^\prime (x) $.
$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyederhanakan Soal dan turunannya :
$\begin{align} f(x) & = \sec ^2 x - \tan x \sec x \\ & = \frac{1}{\cos ^2 x} - \frac{\sin x}{\cos x} . \frac{1}{\cos x} \\ & = \frac{1}{\cos ^2 x} - \frac{\sin x}{\cos ^2 x} \\ & = \frac{1 - \sin x}{\cos ^2 x} \\ & = \frac{1 - \sin x}{1 - \sin ^2 x} \\ & = \frac{1 - \sin x}{(1 - \sin x)(1 + \sin x)} \\ & = \frac{1}{(1 + \sin x)} \\ f(x) & = (1 + \sin x)^{-1} \\ f^\prime (x) & = -1.(1 + \sin x)^{-2} . \cos x \\ & = -1.\frac{1}{(1 + \sin x)^2} . \cos x \\ & = \frac{-\cos x}{(1 + \sin x)^2} \end{align} $
*). Syarat Fungsi Naik :
$ \begin{align} f^\prime (x ) & > 0 \\ \frac{-\cos x}{(1 + \sin x)^2} & > 0 \\ \cos x & = 0 \rightarrow x =\{ 90^\circ , \, 270^\circ \} \\ 1 + \sin x & = 0 \rightarrow x = 270^\circ \end{align} $
*). Garis bilangan dan tanda ($+/-$) daerahnya dengan ujik titik pada ruas kiri pertidaksamaan di atas :
Yang diminta $ > 0 \, $ (daerah bertanda positif).
Jadi, fungsi $ f(x) $ naik pada interval $ \{ 90^\circ < x < 270^\circ \} . \, \heartsuit $
*). Menyederhanakan Soal dan turunannya :
$\begin{align} f(x) & = \sec ^2 x - \tan x \sec x \\ & = \frac{1}{\cos ^2 x} - \frac{\sin x}{\cos x} . \frac{1}{\cos x} \\ & = \frac{1}{\cos ^2 x} - \frac{\sin x}{\cos ^2 x} \\ & = \frac{1 - \sin x}{\cos ^2 x} \\ & = \frac{1 - \sin x}{1 - \sin ^2 x} \\ & = \frac{1 - \sin x}{(1 - \sin x)(1 + \sin x)} \\ & = \frac{1}{(1 + \sin x)} \\ f(x) & = (1 + \sin x)^{-1} \\ f^\prime (x) & = -1.(1 + \sin x)^{-2} . \cos x \\ & = -1.\frac{1}{(1 + \sin x)^2} . \cos x \\ & = \frac{-\cos x}{(1 + \sin x)^2} \end{align} $
*). Syarat Fungsi Naik :
$ \begin{align} f^\prime (x ) & > 0 \\ \frac{-\cos x}{(1 + \sin x)^2} & > 0 \\ \cos x & = 0 \rightarrow x =\{ 90^\circ , \, 270^\circ \} \\ 1 + \sin x & = 0 \rightarrow x = 270^\circ \end{align} $
*). Garis bilangan dan tanda ($+/-$) daerahnya dengan ujik titik pada ruas kiri pertidaksamaan di atas :
Yang diminta $ > 0 \, $ (daerah bertanda positif).
Jadi, fungsi $ f(x) $ naik pada interval $ \{ 90^\circ < x < 270^\circ \} . \, \heartsuit $
Tidak ada komentar:
Posting Komentar
Catatan: Hanya anggota dari blog ini yang dapat mengirim komentar.