Soal yang Akan Dibahas
Semua bilangan real $ x $ yang memenuhi $ \frac{1}{|x-1|} < \frac{1}{2 - x} \, $
adalah ....
A). $ x < \frac{3}{2} \, $
B). $ x > \frac{3}{2} \, $
C). $ x < 1 \, $ atau $ 1 < x < \frac{3}{2} $
D). $ \frac{3}{2} < x < 2 \, $
E). $ \frac{3}{2} < x < 2 \, $ atau $ x > 2 \, $
A). $ x < \frac{3}{2} \, $
B). $ x > \frac{3}{2} \, $
C). $ x < 1 \, $ atau $ 1 < x < \frac{3}{2} $
D). $ \frac{3}{2} < x < 2 \, $
E). $ \frac{3}{2} < x < 2 \, $ atau $ x > 2 \, $
$\spadesuit $ Konsep Dasar Nilai Mutlak
*). Definisi Nilai Mutlak
$ |f(x)| = \left\{ \begin{array}{cc} f(x), & f(x) \geq 0 \\ & \, \text{ atau } \\ -f(x), & f(x) < 0 \end{array} \right. $
*). Definisi Nilai Mutlak
$ |f(x)| = \left\{ \begin{array}{cc} f(x), & f(x) \geq 0 \\ & \, \text{ atau } \\ -f(x), & f(x) < 0 \end{array} \right. $
$\clubsuit $ Pembahasan
*). Mengubah nilai mutlak $ | x - 1| $ berdasarkan definisi mutlak :
$ |x - 1| = \left\{ \begin{array}{cc} x-1, & x-1 \geq 0 \rightarrow x \geq 1 \\ & \, \text{ atau } \\ -(x-1), & x - 1 < 0 \rightarrow x < 1 \end{array} \right. $
Artinya bentuk $ |x - 1 | $ dibagi menjadi dua berdasarkan batas nilai $ x $ yaitu $ x \geq 1 $ atau $ x < 1 $.
*). Menyelesaikan pertidaksamaan berdasarkan batas $ x $ :
-). Untuk $ x \geq 1 $ , maka $ |x-1| = x - 1 $
$ \begin{align} \frac{1}{|x-1|} & < \frac{1}{2 - x} \\ \frac{1}{x-1} - \frac{1}{2 - x} & < 0 \\ \frac{2 - x}{(x-1)(2 - x)} - \frac{x-1}{(x-1)(2 - x)} & < 0 \\ \frac{3 - 2x}{(x-1)(2 - x)} & < 0 \end{align} $
-). Akar-akarnya :
Pembilang : $ 3 - 2x = 0 \rightarrow x = \frac{3}{2} $
Penyebut : $ (x-1)(2 - x) \rightarrow x = 1 \vee x = 2 $
garis bilangan pertama :
Karena $ x \geq 1 $ , solusi pertama : HP1 = $ \{ \frac{3}{2} < x < 2 \} $
-). Untuk $ x < 1 $ , maka $ |x-1| = -(x - 1) = 1 - x $
$ \begin{align} \frac{1}{|x-1|} & < \frac{1}{2 - x} \\ \frac{1}{1 - x} - \frac{1}{2 - x} & < 0 \\ \frac{2 - x}{(1 - x)(2 - x)} - \frac{1 - x}{(1 - x)(2 - x)} & < 0 \\ \frac{1}{(1 - x)(2 - x)} & < 0 \end{align} $
-). Akar-akarnya :
Penyebut : $ (1 - x)(2 - x) \rightarrow x = 1 \vee x = 2 $
garis bilangan kedua :
Karena $ x < 1 $ , maka solusi kedua : HP2 = $ \{ \, \} $ (kosong)
*). Solusi totalnya adalah gabungan dari HP1 dan HP2 (atau sesuai definisi mutlak).
HP $ = \{ \frac{3}{2} < x < 2 \} \, $ .
Jadi, solusinya adalah $ \{ \frac{3}{2} < x < 2 \} . \, \heartsuit $
*). Mengubah nilai mutlak $ | x - 1| $ berdasarkan definisi mutlak :
$ |x - 1| = \left\{ \begin{array}{cc} x-1, & x-1 \geq 0 \rightarrow x \geq 1 \\ & \, \text{ atau } \\ -(x-1), & x - 1 < 0 \rightarrow x < 1 \end{array} \right. $
Artinya bentuk $ |x - 1 | $ dibagi menjadi dua berdasarkan batas nilai $ x $ yaitu $ x \geq 1 $ atau $ x < 1 $.
*). Menyelesaikan pertidaksamaan berdasarkan batas $ x $ :
-). Untuk $ x \geq 1 $ , maka $ |x-1| = x - 1 $
$ \begin{align} \frac{1}{|x-1|} & < \frac{1}{2 - x} \\ \frac{1}{x-1} - \frac{1}{2 - x} & < 0 \\ \frac{2 - x}{(x-1)(2 - x)} - \frac{x-1}{(x-1)(2 - x)} & < 0 \\ \frac{3 - 2x}{(x-1)(2 - x)} & < 0 \end{align} $
-). Akar-akarnya :
Pembilang : $ 3 - 2x = 0 \rightarrow x = \frac{3}{2} $
Penyebut : $ (x-1)(2 - x) \rightarrow x = 1 \vee x = 2 $
garis bilangan pertama :
-). Untuk $ x < 1 $ , maka $ |x-1| = -(x - 1) = 1 - x $
$ \begin{align} \frac{1}{|x-1|} & < \frac{1}{2 - x} \\ \frac{1}{1 - x} - \frac{1}{2 - x} & < 0 \\ \frac{2 - x}{(1 - x)(2 - x)} - \frac{1 - x}{(1 - x)(2 - x)} & < 0 \\ \frac{1}{(1 - x)(2 - x)} & < 0 \end{align} $
-). Akar-akarnya :
Penyebut : $ (1 - x)(2 - x) \rightarrow x = 1 \vee x = 2 $
garis bilangan kedua :
Karena $ x < 1 $ , maka solusi kedua : HP2 = $ \{ \, \} $ (kosong)
*). Solusi totalnya adalah gabungan dari HP1 dan HP2 (atau sesuai definisi mutlak).
HP $ = \{ \frac{3}{2} < x < 2 \} \, $ .
Jadi, solusinya adalah $ \{ \frac{3}{2} < x < 2 \} . \, \heartsuit $
Tidak ada komentar:
Posting Komentar
Catatan: Hanya anggota dari blog ini yang dapat mengirim komentar.