Soal yang Akan Dibahas
Diketahui $ \vec{a} $ , $ \vec{u} $, $ \vec{v} $ , $ \vec{w} $ adalah vektor di bidang
kartesius dengan $ \vec{v} = \vec{w} - \vec{u} $ dan sudut antara $ \vec{u} $ dan
$ \vec{w} $ adalah $ 60^\circ $. Jika $ \vec{a} = 4\vec{v} $ dan
$ \vec{a} . \vec{u} = 0 $ , maka .....
A). $ |\vec{u}| = 2|\vec{v}| \, $
B). $ |\vec{v}| = 2|\vec{w}| \, $
C). $ |\vec{v}| = 2|\vec{u}| \, $
D). $ |\vec{w}| = 2|\vec{v}| \, $
E). $ |\vec{w}| = 2|\vec{u}| \, $
A). $ |\vec{u}| = 2|\vec{v}| \, $
B). $ |\vec{v}| = 2|\vec{w}| \, $
C). $ |\vec{v}| = 2|\vec{u}| \, $
D). $ |\vec{w}| = 2|\vec{v}| \, $
E). $ |\vec{w}| = 2|\vec{u}| \, $
$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus-rumus pada vektor :
$ \vec{a}.\vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}| \cos \alpha $
$ \vec{a}.\vec{a} = (\vec{a})^2 = |\vec{a}|^2 $
$ (\vec{a} + \vec{b})^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 2\vec{a}.\vec{b} $
$ (\vec{a} - \vec{b})^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2\vec{a}.\vec{b} $
*). Rumus-rumus pada vektor :
$ \vec{a}.\vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}| \cos \alpha $
$ \vec{a}.\vec{a} = (\vec{a})^2 = |\vec{a}|^2 $
$ (\vec{a} + \vec{b})^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 2\vec{a}.\vec{b} $
$ (\vec{a} - \vec{b})^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2\vec{a}.\vec{b} $
$\clubsuit $ Pembahasan
*). Substitusi $ \vec{a} = 4\vec{v} $ ke $ \vec{a}.\vec{u} = 0 $ :
$\begin{align} \vec{a} . \vec{u} & = 0 \\ 4\vec{v} . \vec{u} & = 0 \\ \vec{v} . \vec{u} & = 0 \\ \vec{u} . \vec{v} & = 0 \end{align} $
*). Diketahui $ \vec{v} = \vec{w} - \vec{u} \rightarrow \vec{w} = \vec{u} + \vec{v} $
*). Kuadratkan $ \vec{w} = \vec{u} + \vec{v} $ :
$\begin{align} \vec{w} & = \vec{u} + \vec{v} \\ (\vec{w})^2 & = (\vec{u} + \vec{v} )^2 \\ |\vec{w}|^2 & = |\vec{u}|^2 + |\vec{v}|^2 + 2 \vec{u} . \vec{v} \\ |\vec{w}|^2 & = |\vec{u}|^2 + |\vec{v}|^2 + 0 \\ |\vec{v}|^2 & = |\vec{w}|^2 - |\vec{u}|^2 \, \, \, \, \, \, \text{....pers(i)} \end{align} $
*). Kuadratkan $ \vec{v} = \vec{w} - \vec{u} $ dan pers(i) :
$\begin{align} \vec{v} & = \vec{w} - \vec{u} \\ (\vec{v})^2 & = (\vec{w} - \vec{u} )^2 \\ |\vec{v}|^2 & = |\vec{w}|^2 |\vec{u}|^2 - 2 \vec{w} . \vec{u} \\ |\vec{v}|^2 & = |\vec{w}|^2 |\vec{u}|^2 - 2 |\vec{w}|| \vec{u} | \cos 60^\circ \\ |\vec{v}|^2 & = |\vec{w}|^2 |\vec{u}|^2 - 2 |\vec{w}|| \vec{u} | . \frac{1}{2} \\ |\vec{v}|^2 & = |\vec{w}|^2 |\vec{u}|^2 - |\vec{w}|| \vec{u} | \\ |\vec{w}|^2 - |\vec{u}|^2 & = |\vec{w}|^2 + |\vec{u}|^2 - |\vec{w}|| \vec{u} | \\ 2 |\vec{u}|^2 & = |\vec{w}|| \vec{u} | \\ 2 |\vec{u}| |\vec{u}| & = |\vec{w}|| \vec{u} | \\ 2 |\vec{u}| & = |\vec{w}| \end{align} $
Jadi, kita peroleh $ |\vec{w}| = 2 |\vec{u}| . \, \heartsuit $
*). Substitusi $ \vec{a} = 4\vec{v} $ ke $ \vec{a}.\vec{u} = 0 $ :
$\begin{align} \vec{a} . \vec{u} & = 0 \\ 4\vec{v} . \vec{u} & = 0 \\ \vec{v} . \vec{u} & = 0 \\ \vec{u} . \vec{v} & = 0 \end{align} $
*). Diketahui $ \vec{v} = \vec{w} - \vec{u} \rightarrow \vec{w} = \vec{u} + \vec{v} $
*). Kuadratkan $ \vec{w} = \vec{u} + \vec{v} $ :
$\begin{align} \vec{w} & = \vec{u} + \vec{v} \\ (\vec{w})^2 & = (\vec{u} + \vec{v} )^2 \\ |\vec{w}|^2 & = |\vec{u}|^2 + |\vec{v}|^2 + 2 \vec{u} . \vec{v} \\ |\vec{w}|^2 & = |\vec{u}|^2 + |\vec{v}|^2 + 0 \\ |\vec{v}|^2 & = |\vec{w}|^2 - |\vec{u}|^2 \, \, \, \, \, \, \text{....pers(i)} \end{align} $
*). Kuadratkan $ \vec{v} = \vec{w} - \vec{u} $ dan pers(i) :
$\begin{align} \vec{v} & = \vec{w} - \vec{u} \\ (\vec{v})^2 & = (\vec{w} - \vec{u} )^2 \\ |\vec{v}|^2 & = |\vec{w}|^2 |\vec{u}|^2 - 2 \vec{w} . \vec{u} \\ |\vec{v}|^2 & = |\vec{w}|^2 |\vec{u}|^2 - 2 |\vec{w}|| \vec{u} | \cos 60^\circ \\ |\vec{v}|^2 & = |\vec{w}|^2 |\vec{u}|^2 - 2 |\vec{w}|| \vec{u} | . \frac{1}{2} \\ |\vec{v}|^2 & = |\vec{w}|^2 |\vec{u}|^2 - |\vec{w}|| \vec{u} | \\ |\vec{w}|^2 - |\vec{u}|^2 & = |\vec{w}|^2 + |\vec{u}|^2 - |\vec{w}|| \vec{u} | \\ 2 |\vec{u}|^2 & = |\vec{w}|| \vec{u} | \\ 2 |\vec{u}| |\vec{u}| & = |\vec{w}|| \vec{u} | \\ 2 |\vec{u}| & = |\vec{w}| \end{align} $
Jadi, kita peroleh $ |\vec{w}| = 2 |\vec{u}| . \, \heartsuit $
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