Pembahasan Soal Simak UI Matematika Dasar tahun 2015 Nomor 11 sampai 15

Nomor 11

Diketahui garis

$2x + (p-2)y + 1 = 0 \,$ sejajar dengan garis

$(p-1)x + 6y + 7 = 0 . \,$ Misalkan

$a \,$ dan

$b$ adalah nilai-nilai

$p$ yang memenuhi persamaan tersebut dengan

$a < b , \,$ maka nilai dari

${{}^{(a+7)}}^\frac{1}{5} \log b^2 = ....$

$\spadesuit \,$ Konsep dasar :
*). Gradien :

$ax + by + c = 0 \rightarrow m = -\frac{a}{b}$
*). Dua garis sejajar, maka besar gradiennya sama.
*). Sifat logaritma :

${{}^a}^m \log b^n = \frac{n}{m} {}^a \log b$

$\spadesuit \,$ Menentukan gradien kedua garis

$2x + (p-2)y + 1 = 0 \rightarrow m_1 = \frac{-2}{p-2}$

$(p-1)x + 6y + 7 = 0 \rightarrow m_2 = \frac{-(p-1)}{6}$

$\spadesuit \,$ Kedua garis sejajar, sehingga gradiennya sama

$\begin{align} m_1 & = m_2 \\ \frac{-2}{p-2} & = \frac{-(p-1)}{6} \\ (p-2)(p-1) & = 12 \\ p^2 - 3p + 2 & = 12 \\ p^2 - 3p -10 & = 0 \\ (p+2)(p-5) & = 0 \\ p = -2 \vee p & = 5 \end{align}$
Sehingga

$a = -2 \,$ dan

$b = 5$

$\spadesuit \,$ Menentukan hasilnya

$\begin{align} {{}^{(a+7)}}^\frac{1}{5} \log b^2 & = {{}^{(-2+7)}}^\frac{1}{5} \log 5 ^2 \\ & = {{}^{5}}^\frac{1}{5} \log 5 ^2 \\ & = \frac{2}{\frac{1}{5}} \times {}^5 \log 5 \\ & = 2. \frac{5}{1} \times 1 \\ & = 10 \end{align}$
Jadi, nilai

${{}^{(a+7)}}^\frac{1}{5} \log b^2 = 10 . \heartsuit$

Nomor 12

Perkalian akar-akar real dari persamaan

$\frac{1}{x^2-10x-29} + \frac{1}{x^2-10x-45} - \frac{2}{x^2-10x-69} = 0 , \,$ adalah ....

$\clubsuit \,$ Operasi akar-akar persamaan kuadrat

$ax^2 + bx + c = 0 \rightarrow x_1.x_2 = \frac{c}{a}$

$\clubsuit \,$ Jika

$\frac{a}{b} = 0 , \,$ maka

$a = 0$

$\clubsuit \,$ Menyederhanakan persamaan dengan memisalkan :

$p = x^2 - 10x - 29$

$\begin{align} \frac{1}{x^2-10x-29} + \frac{1}{x^2-10x-45} - \frac{2}{x^2-10x-69} & = 0 \\ \frac{1}{x^2-10x-29} + \frac{1}{x^2-10x-29 -16} - \frac{2}{x^2-10x-29-40} & = 0 \\ \frac{1}{p} + \frac{1}{p -16} - \frac{2}{p-40} & = 0 \\ \frac{(p -16)(p-40) + p(p-40) - 2 p(p -16) }{p(p -16)(p-40)} & = 0 \\ \frac{p^2 -56p + 16.40 + p^2 - 40p -2p^2 + 32p }{p(p -16)(p-40)} & = 0 \\ \frac{-64p + 16.40}{p(p -16)(p-40)} & = 0 \\ -64p + 16.40 & = 0 \\ p & = 10 \end{align}$
Substitusi nilai

$p = 10 \,$ ke permisalan, kita peroleh :

$x^2 - 10x - 29 = p \rightarrow x^2 - 10x - 29 = 10 \rightarrow x^2 - 10x - 39 = 0$
Sehingga nilai

$x_1.x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-39}{1} = -39$
Jadi, perkalian akar-akar realnya adalah

$-39. \heartsuit$

Nomor 13

Misalkan salah satu akar dari persamaan kuadrat

$x^2 - 10x + a = 0 \,$ mempunyai tanda yang berlawanan dengan salah satu akar dari persamaan kuadrat

$x^2 + 10x - a = 0 \,$ dimana

$a \,$ adalah sebuah bilangan real, maka jumlah kuadrat dari akar-akar persamaan

$x^2 + 2ax - 5 = 0 \,$ adalah ....

$\spadesuit \,$ Operasi akar-akar persamaan kuadrat

$ax^2 + bx + c = 0 \rightarrow x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} \,$ dan

$\, x_1.x_2 = \frac{c}{a}$

$\spadesuit \,$ Menyusun persamaan dari operasi akar-akar :
*). PK I :

$x^2 - 10x + a = 0 \,$ akar-akarnya

$m \,$ dan

$\, n$

$m + n = \frac{-(-10)}{1} \rightarrow m+n = 10 \,$ ....pers(i)

$m . n = \frac{a}{1} \rightarrow m.n = a \rightarrow m = \frac{a}{n}$ ....pers(ii)
*). PK II :

$x^2 + 10x - a = 0 \,$ akar-akarnya

$p \,$ dan

$\, -n$
Karena akar PK I adalah

$n \,$ dan PK II memiliki tanda yang berlawanan dengan PK I sehingga salah satu akar dari PK II adalah

$\, - n$ .

$p + (-n) = \frac{-(10)}{1} \rightarrow p-n = -10 \,$ ....pers(iii)

$p.(-n) = \frac{-a}{1} \rightarrow -pn = -a \rightarrow p = \frac{a}{n}$ ....pers(iv)

$\spadesuit \,$ Eliminasi pers(i) ke pers(iii)

$\begin{array}{cc} m+n = 10 & \\ p-n = -10 & + \\ \hline m + p = 0 \end{array}$

$\spadesuit \,$ Substitusi pers(ii) ke pers(iv) ke

$m + p = 0$

$\begin{align} m + p & = 0 \\ \frac{a}{n} + \frac{a}{n} & = 0 \\ \frac{2a}{n} & = 0 \\ 2a & = 0 \\ a & = 0 \end{align}$

$\spadesuit \,$ Sehingga PK

$x^2 + 2ax - 5 = 0 \,$ menjadi

$\begin{align} x^2 + 2ax - 5 & = 0 \\ x^2 + 2.0.x - 5 & = 0 \\ x^2 - 5 & = 0 \\ x^2 & = 5 \\ x & = \pm \sqrt{ 5 } \\ x_1 = \sqrt{ 5 } \vee x_2 & = - \sqrt{ 5 } \end{align}$

$\spadesuit \,$ Menentukan jumlah kuadratnya (

$x_1^2 + x_2^2$ )

$\begin{align} x_1^2 + x_2^2 & = (\sqrt{ 5 })^2 + (-\sqrt{ 5 })^2 \\ & = 5 + 5 \\ & = 10 \end{align}$
Jadi, jumlah kuadratnya adalah 10 .

$\heartsuit$

Nomor 14

Diketahui

$a \,$ dan

$b \,$ adalah bilangan bulat positif yang tidak sama dengan satu dan persamaan

$\log _a x . \log _b x = \frac{\log _ x b }{\log _x a } . \,$ Nilai

$(a+b)x \,$ adalah ....

$\spadesuit \,$ Konsep dasar logaritma
*). Bentuk

$\log _a b = {}^a \log b$
*). Definisi logaritma :

${}^a \log b = c \rightarrow b = a^c$
*). Sifat logaritma :

${}^a \log b = \frac{1}{{}^b \log a }$

$\spadesuit \,$ Menyederhanakan soal

$\begin{align} \log _a x . \log _b x & = \frac{\log _ x b }{\log _x a } \\ {}^a \log x . {}^b \log x & = \frac{{}^x \log b }{ {}^x \log a } \, \, \, \, \text{(gunakan sifat log)} \\ \frac{1}{ {}^x \log a } . {}^b \log x & = \frac{ 1 }{ {}^b \log x . {}^x \log a } \\ {}^b \log x & = \frac{ 1 }{ {}^b \log x } \\ ( {}^b \log x )^2 & = 1 \\ {}^b \log x & = \pm \sqrt{ 1 } \\ {}^b \log x & = \pm 1 \\ {}^b \log x & = 1 \vee {}^b \log x = - 1 \end{align}$
dengan definisi logaritma, sehingga diperoleh :

${}^b \log x = 1 \rightarrow x = b^1 = b$

${}^b \log x = -1 \rightarrow x = b^{-1} = \frac{1}{b}$

$\spadesuit \,$ Menentukan hasilnya
*). Untuk

$x = b$

$(a+b)x = (a+b)b = ab + b^2$
*). Untuk

$x = \frac{1}{b}$

$(a+b)x = (a+b)\frac{1}{b} = \frac{a}{b} + 1$
Jadi, nilai

$(a+b)x \,$ adalah

$ab + b^2 \,$ atau

$\frac{a}{b} + 1 . \heartsuit$

Nomor 15

Misalkan

$A = \left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{matrix} \right), \, D = \left( \begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 5 \end{matrix} \right) , \,$ dan

$P = \left( \begin{matrix} a & b \\ b & -a \end{matrix} \right) \,$ dengan

$a , b \,$ adalah bilangan-bilangan real sedemikian sehingga

$A = PDP^T , \,$ maka pernyataan berikut benar, KECUALI ....
(A).

$P^T = P^{-1}$
(B). det A = det D
(C).

$a^2 + b^2 = 1$
(D). det P = det A
(E).

$P^{-1} = P$

$\clubsuit \,$ Konsep Dasar matriks :
*). Determinan :

$A = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) \rightarrow Det(A) = ad-bc$
*). Invers :

$A = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) \rightarrow A^{-1} = \frac{1}{Det(A)} \left( \begin{matrix} d & -b \\ -c & a \end{matrix} \right)$

$\clubsuit \,$ Cek matriks

$P$

$P = \left( \begin{matrix} a & b \\ b & -a \end{matrix} \right) \rightarrow P^T = \left( \begin{matrix} a & b \\ b & -a \end{matrix} \right)$
Artinya

$P = P^T$
Determinan matriks masing-masing :

$A = \left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{matrix} \right) \rightarrow Det(A) = 1.4 - 2.2 = 0$

$D = \left( \begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 5 \end{matrix} \right) \rightarrow Det(D) = 0.5 - 0.0 = 0$

$P = \left( \begin{matrix} a & b \\ b & -a \end{matrix} \right) \rightarrow Det(P) = -a^2 -b^2 = -(a^2 + b^2 )$

$\clubsuit \,$ Menyelesaikan persamaan :

$A = PDP^T$

$\begin{align} A & = PDP^T \\ \left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} a & b \\ b & -a \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 5 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} a & b \\ b & -a \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 0 & 5b \\ 0 & -5a \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} a & b \\ b & -a \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 5b^2 & -5ab \\ -5ab & 5a^2 \end{matrix} \right) \\ 5b^2 & = 1 \rightarrow b^2 = \frac{1}{5} \\ 5a^2 & = 4 \rightarrow a^2 = \frac{4}{5} \end{align}$
Sehingga nilai ,

$a^2 + b^2 = \frac{1}{5} + \frac{4}{5} \rightarrow a^2 + b^2 = 1$
Determinan matriks P :

$Det(P) = -(a^2 + b^2 ) = -1$
Jadi, yang salah adalah opsi D, dimana Det(P) tidak sama dengan Det(A).

$\heartsuit$

Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15 16-20

Tidak ada komentar:

Posting Komentar

Catatan: Hanya anggota dari blog ini yang dapat mengirim komentar.

dunia informa

Pages - Menu