Nomor 6
Jika pada $\int \limits_{-1}^2 x^2\sqrt{x+1} dx $ disubstitusikan $ u = x +1 $ , maka menghasilkan ....
$\spadesuit \, $ Menentukan batas pada $u$ dengan $u=x+1$
$x=-1 \rightarrow u=x+1 = -1 + 1 =0 \, \, $ (batas bawah)
$x=2 \rightarrow u=x+1 = 2 + 1 =3 \, \, $ (batas atas)
$\spadesuit \, $ Menentukan $dx$ dengan turunan
$u=x+1 \rightarrow \frac{du}{dx}=1 \rightarrow dx=du $
$\spadesuit \, $ Substitusi $u=x+1 $ atau $x=u-1 $ dan $dx=du$ serta batasnya pada soal
$\int \limits_{-1}^2 x^2\sqrt{x+1} dx = \int \limits_{0}^3 (u-1)^2\sqrt{u}du $
Jadi, bentuk $\int \limits_{-1}^2 x^2\sqrt{x+1} dx = \int \limits_{0}^3 (u-1)^2\sqrt{u}du . \heartsuit $
$x=-1 \rightarrow u=x+1 = -1 + 1 =0 \, \, $ (batas bawah)
$x=2 \rightarrow u=x+1 = 2 + 1 =3 \, \, $ (batas atas)
$\spadesuit \, $ Menentukan $dx$ dengan turunan
$u=x+1 \rightarrow \frac{du}{dx}=1 \rightarrow dx=du $
$\spadesuit \, $ Substitusi $u=x+1 $ atau $x=u-1 $ dan $dx=du$ serta batasnya pada soal
$\int \limits_{-1}^2 x^2\sqrt{x+1} dx = \int \limits_{0}^3 (u-1)^2\sqrt{u}du $
Jadi, bentuk $\int \limits_{-1}^2 x^2\sqrt{x+1} dx = \int \limits_{0}^3 (u-1)^2\sqrt{u}du . \heartsuit $
Nomor 7
Jika nilai $\int \limits_{1}^2 f(x) dx = 6 $ , maka nilai $\int \limits_{0}^1 xf(x^2+1) dx $ adalah ....
$\clubsuit \, $ Substitusi $x=u $ ke $\int \limits_{1}^2 f(x) dx = 6 $
diperoleh : $\int \limits_{1}^2 f(u) du = 6 $ ...pers(i)
$\clubsuit \, $ Substitusi $u=x^2+1 $ ke $\int \limits_{0}^1 xf(x^2+1) dx $
Menentukan batas dan $dx$ dengan $u=x^2+1 $
$x=0 \rightarrow u=x^2+1=0^2+1=1 \, \, \, $ (batas bawah)
$x=1 \rightarrow u=x^2+1=1^2+1=2 \, \, \, $ (batas atas)
$u=x^2+1 \rightarrow \frac{du}{dx}=2x \rightarrow dx=\frac{du}{2x} $
$\clubsuit \, $ Menyelesaikan soal dengan substitusi
$\begin{align} \int \limits_{0}^1 xf(x^2+1) dx & = \int \limits_{1}^2 \not{x} . f(u).\frac{du}{2\not{x}} \\ & = \frac{1}{2}.\int \limits_{1}^2 f(u) du \, \, \, \text{dari pers(i)} \\ & = \frac{1}{2}.6 \\ & = 3 \end{align}$
Jadi, nilai $\int \limits_{0}^1 xf(x^2+1) dx = 3. \heartsuit$
diperoleh : $\int \limits_{1}^2 f(u) du = 6 $ ...pers(i)
$\clubsuit \, $ Substitusi $u=x^2+1 $ ke $\int \limits_{0}^1 xf(x^2+1) dx $
Menentukan batas dan $dx$ dengan $u=x^2+1 $
$x=0 \rightarrow u=x^2+1=0^2+1=1 \, \, \, $ (batas bawah)
$x=1 \rightarrow u=x^2+1=1^2+1=2 \, \, \, $ (batas atas)
$u=x^2+1 \rightarrow \frac{du}{dx}=2x \rightarrow dx=\frac{du}{2x} $
$\clubsuit \, $ Menyelesaikan soal dengan substitusi
$\begin{align} \int \limits_{0}^1 xf(x^2+1) dx & = \int \limits_{1}^2 \not{x} . f(u).\frac{du}{2\not{x}} \\ & = \frac{1}{2}.\int \limits_{1}^2 f(u) du \, \, \, \text{dari pers(i)} \\ & = \frac{1}{2}.6 \\ & = 3 \end{align}$
Jadi, nilai $\int \limits_{0}^1 xf(x^2+1) dx = 3. \heartsuit$
Nomor 8
Koefisien $x^{49} $ pada hasil perkalian $(x-1)(x-2)(x-3)...(x-50) $ adalah ....
$\spadesuit \, $ Menentukan perkalian yang menghasilkan $x^{49} $ saja
$\spadesuit \, $ Koefisien $x^{49} $ membentuk deret aritmetika , $S_n=\frac{n}{2}(U_1+U_n)$
$\begin{align*} \text{Koefisien} \, x^{49} & = -1-2-3-4-...-49-50 \\ & = -(1+2+3+...+50) \\ & = -S_{50} \\ & = -\frac{50}{2}(1+50) \\ & = -1275 \end{align*}$
Jadi, koefisien $x^{49} $ adalah -1275. $ \heartsuit$
$\spadesuit \, $ Koefisien $x^{49} $ membentuk deret aritmetika , $S_n=\frac{n}{2}(U_1+U_n)$
$\begin{align*} \text{Koefisien} \, x^{49} & = -1-2-3-4-...-49-50 \\ & = -(1+2+3+...+50) \\ & = -S_{50} \\ & = -\frac{50}{2}(1+50) \\ & = -1275 \end{align*}$
Jadi, koefisien $x^{49} $ adalah -1275. $ \heartsuit$
Nomor 9
Diketahui fungsi $f$ dan $g$ dengan nilai $f(2)=f(4)=g^\prime (2) = g^\prime (4) = 2 $ dan
$ g(2) = g(4)=f^\prime (2) = f^\prime (4)=4 $ dengan $f^\prime $ dan $g^\prime $ berturut-turut menyatakan turunan
pertama fungsi $f$ dan $g$ .
Jika $h(x)=f(g(x)) $ , maka nilai $h^\prime (2) $ adalah ....
Jika $h(x)=f(g(x)) $ , maka nilai $h^\prime (2) $ adalah ....
$\clubsuit \, $ Konsep dasar Turunan
$y=f\left[ g(x) \right] \rightarrow y^\prime = f^\prime \left[ g(x) \right] . g^\prime (x) $
$\clubsuit \, $ Menurunkan fungsinya dan substitusi $x=2 $
serta diketahui $g^\prime (2)=2, g(2)=4, f^\prime (4) = 4 $
$\begin{align*} h(x) & = f[g(x)] \\ h^\prime (x) & = f^\prime \left[ g(x) \right] . g^\prime (x) \\ x=2 \rightarrow h^\prime (2) & = f^\prime \left[ g(2) \right] . g^\prime (2) \\ h^\prime (2) & = f^\prime [4] . 2 \\ h^\prime (2) & = 4.2 \\ h^\prime (2) & = 8 \end{align*}$
Jadi, nilai $ h^\prime (2) = 8 . \heartsuit $
$y=f\left[ g(x) \right] \rightarrow y^\prime = f^\prime \left[ g(x) \right] . g^\prime (x) $
$\clubsuit \, $ Menurunkan fungsinya dan substitusi $x=2 $
serta diketahui $g^\prime (2)=2, g(2)=4, f^\prime (4) = 4 $
$\begin{align*} h(x) & = f[g(x)] \\ h^\prime (x) & = f^\prime \left[ g(x) \right] . g^\prime (x) \\ x=2 \rightarrow h^\prime (2) & = f^\prime \left[ g(2) \right] . g^\prime (2) \\ h^\prime (2) & = f^\prime [4] . 2 \\ h^\prime (2) & = 4.2 \\ h^\prime (2) & = 8 \end{align*}$
Jadi, nilai $ h^\prime (2) = 8 . \heartsuit $
Nomor 10
Misalkan $U_n $ menyatakan suku ke-$n$ suatu barisan geometri. Jika diketahui $U_4 = 64 $ dan
$ \log U_2 + \log U_3 + \log U_4 = 9 \log 2 $ , maka nilai $U_3 $ adalah ....
$\spadesuit \, $ Barisan geometri : $U_n = ar^{n-1} $
$\spadesuit \, $ Sifat dan persamaan logaritma
$^a \log f(x) = {}^a \log g(x) \Leftrightarrow f(x)=g(x) $
$ ^a \log b = n. {}^a \log b $ dan $^a \log (bc) = {}^a\log b + {}^a \log c $
$\spadesuit \, $ Meyederhanakan soal
$\begin{align*} \log U_2 + \log U_3 + \log U_4 & = 9 \log 2 \\ \log (U_2.U_3.U_4) & = \log 2^9 \\ U_2.U_3.U_4) & = 2^9 \\ ar.ar^2.ar^3 & = 2^9 \\ (ar^2)^3 & = 2^9 \\ ar^2 & = (2^9)^\frac{1}{3} = 2^3 \\ U_3 & = 8 \end{align*}$
Jadi, nilai $U_3 = 8. \heartsuit $
$\spadesuit \, $ Sifat dan persamaan logaritma
$^a \log f(x) = {}^a \log g(x) \Leftrightarrow f(x)=g(x) $
$ ^a \log b = n. {}^a \log b $ dan $^a \log (bc) = {}^a\log b + {}^a \log c $
$\spadesuit \, $ Meyederhanakan soal
$\begin{align*} \log U_2 + \log U_3 + \log U_4 & = 9 \log 2 \\ \log (U_2.U_3.U_4) & = \log 2^9 \\ U_2.U_3.U_4) & = 2^9 \\ ar.ar^2.ar^3 & = 2^9 \\ (ar^2)^3 & = 2^9 \\ ar^2 & = (2^9)^\frac{1}{3} = 2^3 \\ U_3 & = 8 \end{align*}$
Jadi, nilai $U_3 = 8. \heartsuit $
gimana penjelasan no 7 subtitusnya u ---> ke persamaan pertama?
BalasHapushallow @kautsar,
HapusTerima kasih untuk kunjungannya ke blog dunia-informa ini.
Untuk substitusi $ x = u $ ke persamaan pertama, maka batasnya tetap sama, dan
$ x = u \rightarrow \frac{du}{dx} = 1 \rightarrow dx = du $.
sehingga bentuknya tidak berubah hanya $ x $ menjadi $ u $ saja.
Seperti itu penjelasannya.
Terima kasih.
Selamat belajar.