Nomor 11
Luas suatu area peternakan adalah 200 $m^2$ . Untuk membuat sebuah kandang ayam , rata-rata diperlukan tempat seluas 10 $m^2$ dan untuk
kandang kambing, rata-rata diperlukan 20 $m^2$ . Area peternakan tersebut tidak mampu menampung lebih dari 12 kandang ayam dan kandang kambing.
Hasil dari sebuah kandang ayam adalah Rp 110.000,00/hari dan hasil dari sebuah kandang kambing adalah Rp 200.000,00/hari. Jika di suatu hari
tidak ada ayam dan kambing mati, maka hasil dari area peternakan tersebut dalam sehari akan maksimum dengan nilai ...
$\spadesuit \, $ Misal, banyak kandang ayam = $ x \, $ dan banyak kandang kambing = $ y $
$\spadesuit \, $ Model matematika dan fungsi tujuan (objektif) dengan nilai maksimum
(i). $ 10x+20y \leq 200 \rightarrow x+2y \leq 20 \, : (0,10) , \, (20,0) $
(ii). $ x+y \leq 12 \, : \, (0,12), \, (12,0) $
(iii). $ x \geq 0, \, y \geq 0 $
Fungsi tujuan : $ f(x,y) = 110.000x+200.000y $
$\spadesuit \, $ Menentukan titik pojok
Titik potong kedua garis dengan substitusi dan eliminasi adalah $ (4,8) $
pada pert(i), titik (0,10) sebagai titik pojok karena memenuhi pert(ii) dan (iii)
pada pert(ii), titik (12,0) sebagai titik pojok karena memenuhi pert(i) dan (iii)
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai maksimum dengan mensubstitusi semua titik pojok ke fungsi tujuan $ f(x,y) = 110.000x+200.000y $
$\begin{align} (0,10) \rightarrow f(0,10) & =110.000\times 0 + 200.000\times 10 = 2.000.000 \\ (12,0) \rightarrow f(0,10) & =110.000\times 12 + 200.000\times 0 = 1.320.000 \\ (4,8) \rightarrow f(0,10) & =110.000\times 4 + 200.000\times 8 = 2.040.000 \end{align}$
Jadi, penghasilan maksimumnya adalah Rp2.040.000 . $ \heartsuit $
$\spadesuit \, $ Model matematika dan fungsi tujuan (objektif) dengan nilai maksimum
(i). $ 10x+20y \leq 200 \rightarrow x+2y \leq 20 \, : (0,10) , \, (20,0) $
(ii). $ x+y \leq 12 \, : \, (0,12), \, (12,0) $
(iii). $ x \geq 0, \, y \geq 0 $
Fungsi tujuan : $ f(x,y) = 110.000x+200.000y $
$\spadesuit \, $ Menentukan titik pojok
Titik potong kedua garis dengan substitusi dan eliminasi adalah $ (4,8) $
pada pert(i), titik (0,10) sebagai titik pojok karena memenuhi pert(ii) dan (iii)
pada pert(ii), titik (12,0) sebagai titik pojok karena memenuhi pert(i) dan (iii)
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai maksimum dengan mensubstitusi semua titik pojok ke fungsi tujuan $ f(x,y) = 110.000x+200.000y $
$\begin{align} (0,10) \rightarrow f(0,10) & =110.000\times 0 + 200.000\times 10 = 2.000.000 \\ (12,0) \rightarrow f(0,10) & =110.000\times 12 + 200.000\times 0 = 1.320.000 \\ (4,8) \rightarrow f(0,10) & =110.000\times 4 + 200.000\times 8 = 2.040.000 \end{align}$
Jadi, penghasilan maksimumnya adalah Rp2.040.000 . $ \heartsuit $
Nomor 12
Didefinisikan sebuah barisan sebagai berikut :
$ s_1=2^{2014}$ dan untuk $n \geq 1 , \, s_{n+1}= \left\{ \begin{array}{cc} {}^{2} \log s_n , & \text{jika} s_n > 0 \\ 0 , & \text{lainnya} \end{array} \right. $
Nilai terkecil $n$ sedemikian sehingga $s_n < 1 $ adalah ...
$ s_1=2^{2014}$ dan untuk $n \geq 1 , \, s_{n+1}= \left\{ \begin{array}{cc} {}^{2} \log s_n , & \text{jika} s_n > 0 \\ 0 , & \text{lainnya} \end{array} \right. $
Nilai terkecil $n$ sedemikian sehingga $s_n < 1 $ adalah ...
$\clubsuit \, $ Definisi logaritma : $ {}^a \log b = c \rightarrow b = a^c $
Bentuk $ s_{n+1} = {}^{2} \log s_n \, $ sama saja dengan $ s_{n} = {}^{2} \log s_{n-1} \, $
$\clubsuit \, $ Berdasarkan bentuk $ s_{n} = {}^{2} \log s_{n-1} \, $ dan $ s_1=2^{2014}, \, $ dengan teknik nyicil (coba satu-satu ^_^ dengan sabar) mari kita jalankan mulai dari syarat yang diminta yaitu $ s_n < 1 $
$\begin{align} \text{(i)}. s_n < 1 \rightarrow {}^{2} \log s_{n-1} & < 1 \\ s_{n-1} & < 2^1 \, \, \text{(dari definisi)} \\ \text{untuk } n = 2 \rightarrow s_{2-1} & < 2^1 \\ s_{1} & < 2^1 \\ 2^{2014} & < 2^1 \, \, \text{(masih salah)} \\ \text{(ii)}. s_{n-1} < 2^1 \rightarrow {}^{2} \log s_{n-2} & < 2 \\ s_{n-2} & < 2^2 \, \, \text{(dari definisi)} \\ \text{untuk } n = 3 \rightarrow s_{3-2} & < 2^2 \\ s_{1} & < 2^2 \\ 2^{2014} & < 2^2 \, \, \text{(masih salah)} \\ \text{(iii)}. s_{n-2} < 2^2 \rightarrow {}^{2} \log s_{n-3} & < 4 \\ s_{n-3} & < 2^4 \, \, \text{(dari definisi)} \\ \text{untuk } n = 4 \rightarrow s_{4-3} & < 2^4 \\ s_{1} & < 2^4 \\ 2^{2014} & < 2^4 \, \, \text{(masih salah)} \\ \text{(iv)}. s_{n-3} < 2^4 \rightarrow {}^{2} \log s_{n-4} & < 16 \\ s_{n-4} & < 2^{16} \, \, \text{(dari definisi)} \\ \text{untuk } n = 5 \rightarrow s_{5-4} & < 2^{16} \\ s_{1} & < 2^{16} \\ 2^{2014} & < 2^{16} \, \, \text{(masih salah)} \\ \text{(v)}. s_{n-4} < 2^{16} \rightarrow {}^{2} \log s_{n-5} & < 65.536 \\ s_{n-5} & < 2^{65.536} \, \, \text{(dari definisi)} \\ \text{untuk } n = 6 \rightarrow s_{6-5} & < 2^{65.536} \\ s_{1} & < 2^{65.536} \\ 2^{2014} & < 2^{65.536} \, \, \text{(benar)} \end{align}$
Jadi, nilai $ n \, $ terkecil yang memenuhi $ s_n < 1 \, $ adalah $ n = 6 . \heartsuit $
Bentuk $ s_{n+1} = {}^{2} \log s_n \, $ sama saja dengan $ s_{n} = {}^{2} \log s_{n-1} \, $
$\clubsuit \, $ Berdasarkan bentuk $ s_{n} = {}^{2} \log s_{n-1} \, $ dan $ s_1=2^{2014}, \, $ dengan teknik nyicil (coba satu-satu ^_^ dengan sabar) mari kita jalankan mulai dari syarat yang diminta yaitu $ s_n < 1 $
$\begin{align} \text{(i)}. s_n < 1 \rightarrow {}^{2} \log s_{n-1} & < 1 \\ s_{n-1} & < 2^1 \, \, \text{(dari definisi)} \\ \text{untuk } n = 2 \rightarrow s_{2-1} & < 2^1 \\ s_{1} & < 2^1 \\ 2^{2014} & < 2^1 \, \, \text{(masih salah)} \\ \text{(ii)}. s_{n-1} < 2^1 \rightarrow {}^{2} \log s_{n-2} & < 2 \\ s_{n-2} & < 2^2 \, \, \text{(dari definisi)} \\ \text{untuk } n = 3 \rightarrow s_{3-2} & < 2^2 \\ s_{1} & < 2^2 \\ 2^{2014} & < 2^2 \, \, \text{(masih salah)} \\ \text{(iii)}. s_{n-2} < 2^2 \rightarrow {}^{2} \log s_{n-3} & < 4 \\ s_{n-3} & < 2^4 \, \, \text{(dari definisi)} \\ \text{untuk } n = 4 \rightarrow s_{4-3} & < 2^4 \\ s_{1} & < 2^4 \\ 2^{2014} & < 2^4 \, \, \text{(masih salah)} \\ \text{(iv)}. s_{n-3} < 2^4 \rightarrow {}^{2} \log s_{n-4} & < 16 \\ s_{n-4} & < 2^{16} \, \, \text{(dari definisi)} \\ \text{untuk } n = 5 \rightarrow s_{5-4} & < 2^{16} \\ s_{1} & < 2^{16} \\ 2^{2014} & < 2^{16} \, \, \text{(masih salah)} \\ \text{(v)}. s_{n-4} < 2^{16} \rightarrow {}^{2} \log s_{n-5} & < 65.536 \\ s_{n-5} & < 2^{65.536} \, \, \text{(dari definisi)} \\ \text{untuk } n = 6 \rightarrow s_{6-5} & < 2^{65.536} \\ s_{1} & < 2^{65.536} \\ 2^{2014} & < 2^{65.536} \, \, \text{(benar)} \end{align}$
Jadi, nilai $ n \, $ terkecil yang memenuhi $ s_n < 1 \, $ adalah $ n = 6 . \heartsuit $
Nomor 13
Sebuah amplop berisi 2 lembar uang 5 ribuan , 3 lembar uang sepuluh ribuan , 2 lembar uang dua puluh ribuan, dan 2 lembar uang
lima puluh ribuan . Tiga lembar uang diambil secara acak dan tanpa pengembalian . Peluang jumlah uang bernilai lima puluh ribu atau lebih adalah ...
$\spadesuit \, $ Misalkan : lima ribuan = A, sepuluh ribuan = B,
dua puluh ribuan = C, dan lima puluh ribuan = D
Diketahui ada 2A, 3B, 2C, dan 2D (total ada 9 lembar uang).
$\spadesuit \, $ Akan dipilih 3 lembar uang dari total 9 lembar uang yang ada. $ n(S) = C_3^9 = 84 $
$\spadesuit \, $ Harapannya : jumlah ketiganya lebih atau sama dengan 50 ribu.
Ada beberapa kemungkinan pengambilan ketiga uangnya :
i). 1 lembar D dan sisanya 2 lembar dari selain D, artinya milih 1 lembar dari 2 lembar D ($C_1^2$) dan 2 lembar dari 7 lembar selain D ($C_2^7$).
Cara I = $C_1^2 \times C_2^7 = 2 \times 21 = 42 \, $ cara
ii). 2 lembar D dan sisanya 1 lembar dari selain D, artinya milih 2 lembar dari 2 lembar D ($C_2^2$) dan 1 lembar dari 7 lembar selain D ($C_1^7$).
Cara II = $C_2^2 \times C_1^7 = 1 \times 7 = 7 \, $ cara
iii). 2 lembar C dan 1 lembar B, artinya milih 2 lembar dari 2 lembar C ($C_2^2$) dan 1 lembar dari 3 lembar B ($C_1^3$).
Cara III = $C_2^2 \times C_1^3 = 1 \times 3 = 3 \, $ cara
Untuk pengambilan selain cara di atas, maka tidak ada yang jumlahnya lebih atau sama dengan 50 ribu lagi.
sehingga total cara harapannya :
$n(H) = $ cara I + cara II + cara III = 42 + 7 + 3 = 52 cara
Peluang harapannya : $ P(H) = \frac{n(H)}{n(S)} = \frac{52}{84} $
Jadi, peluangnya adalah $ \frac{52}{84} . \heartsuit $
dua puluh ribuan = C, dan lima puluh ribuan = D
Diketahui ada 2A, 3B, 2C, dan 2D (total ada 9 lembar uang).
$\spadesuit \, $ Akan dipilih 3 lembar uang dari total 9 lembar uang yang ada. $ n(S) = C_3^9 = 84 $
$\spadesuit \, $ Harapannya : jumlah ketiganya lebih atau sama dengan 50 ribu.
Ada beberapa kemungkinan pengambilan ketiga uangnya :
i). 1 lembar D dan sisanya 2 lembar dari selain D, artinya milih 1 lembar dari 2 lembar D ($C_1^2$) dan 2 lembar dari 7 lembar selain D ($C_2^7$).
Cara I = $C_1^2 \times C_2^7 = 2 \times 21 = 42 \, $ cara
ii). 2 lembar D dan sisanya 1 lembar dari selain D, artinya milih 2 lembar dari 2 lembar D ($C_2^2$) dan 1 lembar dari 7 lembar selain D ($C_1^7$).
Cara II = $C_2^2 \times C_1^7 = 1 \times 7 = 7 \, $ cara
iii). 2 lembar C dan 1 lembar B, artinya milih 2 lembar dari 2 lembar C ($C_2^2$) dan 1 lembar dari 3 lembar B ($C_1^3$).
Cara III = $C_2^2 \times C_1^3 = 1 \times 3 = 3 \, $ cara
Untuk pengambilan selain cara di atas, maka tidak ada yang jumlahnya lebih atau sama dengan 50 ribu lagi.
sehingga total cara harapannya :
$n(H) = $ cara I + cara II + cara III = 42 + 7 + 3 = 52 cara
Peluang harapannya : $ P(H) = \frac{n(H)}{n(S)} = \frac{52}{84} $
Jadi, peluangnya adalah $ \frac{52}{84} . \heartsuit $
Nomor 14
Diketahui $P=\left[ \begin{matrix} s+r & 2 \\ 3 & r \end{matrix} \right] $, $Q=\left[ \begin{matrix} 2 & -1 \\ 1 & 4 \end{matrix} \right] $ ,
dan $R=\left[ \begin{matrix} 7 & 3 \\ 2 & 1 \end{matrix} \right] $ . Jika $Q-P=R^{-1}$ , maka nilai dari $s^2r = ... $
$\clubsuit \, $ Konsep dasar
$A=\left[ \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right] \rightarrow A^{-1} = \frac{1}{|A|} \left[ \begin{matrix} d & -b \\ -c & a \end{matrix} \right] $
dengan det(A) = $|A| = ad-bc $
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai $ s \, $ dan $ r $
$\begin{align} Q-P & =R^{-1} \\ \left[ \begin{matrix} 2 & -1 \\ 1 & 4 \end{matrix} \right] - \left[ \begin{matrix} s+r & 2 \\ 3 & r \end{matrix} \right] & = \left[ \begin{matrix} 7 & 3 \\ 2 & 1 \end{matrix} \right]^{-1} \\ \left[ \begin{matrix} 2-s-r & -3 \\ -2 & 4-r \end{matrix} \right] & = \frac{1}{7.1-3.2} \left[ \begin{matrix} 1 & -3 \\ -2 & 7 \end{matrix} \right] \\ \left[ \begin{matrix} 2-s-r & -3 \\ -2 & 4-r \end{matrix} \right] & = \left[ \begin{matrix} 1 & -3 \\ -2 & 7 \end{matrix} \right] \end{align} $
diperoleh :
$ 4-r = 7 \rightarrow r = -3 $
$ 2-s-r = 1 \rightarrow 2-s-(-3) = 1 \rightarrow s = 4 $
sehingga nilai $ s^2.r = 4^2.(-3) = 16.(-3) = -48 $
Jadi, nilai $ s^2r = -48. \heartsuit $
$A=\left[ \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right] \rightarrow A^{-1} = \frac{1}{|A|} \left[ \begin{matrix} d & -b \\ -c & a \end{matrix} \right] $
dengan det(A) = $|A| = ad-bc $
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai $ s \, $ dan $ r $
$\begin{align} Q-P & =R^{-1} \\ \left[ \begin{matrix} 2 & -1 \\ 1 & 4 \end{matrix} \right] - \left[ \begin{matrix} s+r & 2 \\ 3 & r \end{matrix} \right] & = \left[ \begin{matrix} 7 & 3 \\ 2 & 1 \end{matrix} \right]^{-1} \\ \left[ \begin{matrix} 2-s-r & -3 \\ -2 & 4-r \end{matrix} \right] & = \frac{1}{7.1-3.2} \left[ \begin{matrix} 1 & -3 \\ -2 & 7 \end{matrix} \right] \\ \left[ \begin{matrix} 2-s-r & -3 \\ -2 & 4-r \end{matrix} \right] & = \left[ \begin{matrix} 1 & -3 \\ -2 & 7 \end{matrix} \right] \end{align} $
diperoleh :
$ 4-r = 7 \rightarrow r = -3 $
$ 2-s-r = 1 \rightarrow 2-s-(-3) = 1 \rightarrow s = 4 $
sehingga nilai $ s^2.r = 4^2.(-3) = 16.(-3) = -48 $
Jadi, nilai $ s^2r = -48. \heartsuit $
Nomor 15
Himpunan {3,6,9,10} diperbesar dengan menambahkan 1 elemen yang berbeda dari 4 bilangan yang ada. Median dan rata-rata pada himpunan yang dihasilkan
bernilai sama. Banyaknya bilangan prima yang lebih kecil dari jumlah semua kemungkinan bilangan yang dapat menjadi elemen tambahan pada himpunan tersebut adalah ...
$\spadesuit \, $ Misal bilangan yang ditambahkan adalah $ a \, $ dan median barunya adalah $ k \, $ , sehingga himpunan
barunya menjadi $ \{3,6,9,10,a\} $
$\begin{align} \text{Rata - rata baru } & = \text{ Median baru} \\ \frac{3+6+9+10+a}{5} & = k \\ \frac{28+a}{5} & = k \\ a & = 5k -28 \end{align}$
$\spadesuit \, $ Agar memperbesar himpunan awal, maka nilai $ a \, $ harus positif
$ a > 0 \rightarrow 5k -28 > 0 \rightarrow k > \frac{28}{5} \rightarrow k > 5,6 \, $ ....pert(i)
$\spadesuit \, $ Dari himpunan $ \{ 3,6,9,10,a\} \, $ , maka median terbesarnya adalah 9 ($k\leq 9$)
Dari $ k > 5,6 \, $ dan $ k \leq 9 \, $ maka diperoleh $ 5,6 < k \leq 9 \, $ dan bilangan bulat $ k \, $ yang memenuhi adalah $ k = \{ 6,7,8,9\} $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ a \, $ dan himpunannya berdasarkan nilai $ k \, $ dengan $ a = 5k-28 $
i). $ k = 6 \rightarrow a = 5.6 -28 =30-28 = 2 $
himpunannya : $ \{ 2,3,6,9,10\} $
ii). $ k = 7 \rightarrow a = 5.7 -28 = 35-28 = 7 $
himpunannya : $ \{ 3,6,7,9,10\} $
iii). $ k = 8 \rightarrow a = 5.8 -28 = 40 - 28 = 12 $
himpunannya : $ \{ 3,6,9,10, 12\} \rightarrow \, $ median = 9
tidak memenuhi karena mediannya harus 8
iv). $ k = 9 \rightarrow a = 5.9 -28 = 45 - 28 = 17 $
himpunannya : $ \{ 3,6,9,10,17\} $
$\spadesuit \, $ Menentukan jumlah nilai $ a \, $ dan bilangan prima
Nilai $ a \, $ yang memenuhi $ a = \{2,7,17\} \, $ dengan jumlah = 2 + 7 + 17 = 26
Sehingga bilangan prima yang kurang dari jumlah semua nilai $ a \, $ yaitu kurang dari 26 adalah $ \{ 2,3,5,7,11,13,17,19,23\} \, \, \, \, \, \, \, $ sebanyak 9 bilangan.
Jadi, ada 9 bilangan prima yang memenuhi. $ \heartsuit $
$\begin{align} \text{Rata - rata baru } & = \text{ Median baru} \\ \frac{3+6+9+10+a}{5} & = k \\ \frac{28+a}{5} & = k \\ a & = 5k -28 \end{align}$
$\spadesuit \, $ Agar memperbesar himpunan awal, maka nilai $ a \, $ harus positif
$ a > 0 \rightarrow 5k -28 > 0 \rightarrow k > \frac{28}{5} \rightarrow k > 5,6 \, $ ....pert(i)
$\spadesuit \, $ Dari himpunan $ \{ 3,6,9,10,a\} \, $ , maka median terbesarnya adalah 9 ($k\leq 9$)
Dari $ k > 5,6 \, $ dan $ k \leq 9 \, $ maka diperoleh $ 5,6 < k \leq 9 \, $ dan bilangan bulat $ k \, $ yang memenuhi adalah $ k = \{ 6,7,8,9\} $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ a \, $ dan himpunannya berdasarkan nilai $ k \, $ dengan $ a = 5k-28 $
i). $ k = 6 \rightarrow a = 5.6 -28 =30-28 = 2 $
himpunannya : $ \{ 2,3,6,9,10\} $
ii). $ k = 7 \rightarrow a = 5.7 -28 = 35-28 = 7 $
himpunannya : $ \{ 3,6,7,9,10\} $
iii). $ k = 8 \rightarrow a = 5.8 -28 = 40 - 28 = 12 $
himpunannya : $ \{ 3,6,9,10, 12\} \rightarrow \, $ median = 9
tidak memenuhi karena mediannya harus 8
iv). $ k = 9 \rightarrow a = 5.9 -28 = 45 - 28 = 17 $
himpunannya : $ \{ 3,6,9,10,17\} $
$\spadesuit \, $ Menentukan jumlah nilai $ a \, $ dan bilangan prima
Nilai $ a \, $ yang memenuhi $ a = \{2,7,17\} \, $ dengan jumlah = 2 + 7 + 17 = 26
Sehingga bilangan prima yang kurang dari jumlah semua nilai $ a \, $ yaitu kurang dari 26 adalah $ \{ 2,3,5,7,11,13,17,19,23\} \, \, \, \, \, \, \, $ sebanyak 9 bilangan.
Jadi, ada 9 bilangan prima yang memenuhi. $ \heartsuit $
Tidak ada komentar:
Posting Komentar
Catatan: Hanya anggota dari blog ini yang dapat mengirim komentar.